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 et en y posant xz^ix", ces formules donneront les paramtres a,, a,..., 

 <2_,, exprims en x\, xl, . . ., j:_,, lesquels pourront tre regards comme 

 n I paramtres propres complter les intgrales; et, en effet, il suf- 

 fira de remplacer, dans les quations (A), les , par leurs valeurs en x\^ 

 x",, . . . , J_,, pour avoir un nouveau systme d'quations intgrales (A), 

 en tout quivalant au premier. Ce nouveau systme fournirait les a', ,jr,,..., 

 .^,^1 exprims en j?, a?, . . . , xl_^ et en x. 



Aprs avoir pos x-=x dans l'quation (3), nous reprsenterons 

 par A", X, ce que deviennent les fonctions A et X, : ce seront des 

 combinaisons de a;", x\,. . ., x\_^^ si l'on a introduit les paramtres xi la 

 place des a,, ou bien des fonctions de ces paramtres primitifs. L'qua- 

 tion (3) donnera donc, pourx = j;, 



A" (X Tx^-f- etc. + X^. Jir,^. ) = constante , 



et par la soustraction de l'quation (3) on aura 



(4) A(X,crx, + elc.-|-X_,erj:..)=A(X;crx;-f-etc.-^X:_.J^x_.). 



Ainsi, le systme des variables ar, , x^^ . . .,ar donnes en j: par legroupe(A), 

 satisfait l'quation propose (i), et de plus vrifie l'quation (4). 



Aprs avoir tabli cette proprit des formules (A), obtenues l'aide de 

 l'intgration du systme particulier des n quations L==o, L,=o, etc., 

 considrons d'une manire plus gnrale la fonction diffrentielle incom- 

 plte 



Z = Xdx-+-X,dx,-i- etc. + X_, clx,._, , 



qui sert d premier membre l'quation (i), traite ci-dessus. Si dans cette 

 formule vous remplacez les i variables x^, X^, . . ., x_, par les fonc- 

 tions dtermines de x, et de a,, a,, flj, . . ., _,, qui sont fournies par le 

 groupe de formules analytiques (A), et que vous regardiez lesa,,a,,a3, > 

 ^n-if 4ui servaient de paramtres, comme des variables dont les ac- 

 croissements infiniment petits seront Ta,, cTa,, . . ., <ra_,; chaque varia- 

 ble X, aura pour diffrentielle dx,, une partie (-r-) dx provenant de x, et 



une seconde partie cTx,, provenant des anciens paramtres, devenus des 

 variables, par notre hypothse; ainsi 



