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dont elle dpend, puis de remplacer, dans le rsultat trouv, chaque va- 

 riable par le naodule virtuel d'un accroissement imaginaire attribu celte 

 variable, et chaque fonction par son module virtuel. 



Corollaire. Si le polynme donn tait rel et renferm sous le signe y 

 dans une intgrale dfinie, relle et multiple, dont chaque lment infiniment 

 petit serait affect du mme signe que le polynme lui-mme, et si, d'ailleurs, 

 le polynme ne contenait pas de drives partielles, prises par rapport aux 

 variables auxquelles les intgrations seraient relatives, alors, pour obtenir 

 un limite suprieure au module de l'intgrale multiple, il suffirait videm- 

 ment de calculer, l'aide du thorme prcdent, une limite suprieure au 

 module du polynme, considr comme une fonction des autres variables, 

 en attribuant aux modules virtuels des fonctions dont les drives entre- 

 raient dans chaque terme les plus grandes valeurs que ces modules pour- 

 raient acqurir entre les limites des intgrations; pnis de multipHer la 

 limite suprieure au module du polynme par la quantit positive laquelle 

 se rduirait l'intgrale , si le polynme se rduisait l'unit. 



CALCUL INTGRAL. -Mmoire sur les intgrales des systmes d'quations 

 diffrentielles et aux drives partielles , et sur le dveloppement de ces 

 intgrales en sries ordonnes suivant les puissances ascendantes dun 

 paramtre que renferment les quations proposes ; par M. Augustin 

 Cauchy. 



Considrons d'abord une seule quation diffrentielle du premier ordre 

 entre les deux variables jr et t, dont la dernire, regarde comme ind- 

 pendante, peut tre cense reprsenter le temps; et supposons que cette 

 quation renferme avec x^ t et D,jr, un certain paramtre a. Si on la r- 

 sout par rapport x^ elle prendra la forme 



(i) D.x =i X. 



Si d'ailleurs on nomme la valeur particulire de x correspondante 

 < = T, ou, ce qui revient au mme , si l'on assujettit l'inconnue x vri- 

 fier, pour = T, la condition 



(2) X = g, 



ao.. 



