( 42 ) 



la valeur gnrale de cette inconnue sera compltement dtermine, et 

 l'on pourra essayer de la dvelopper, non-seulement en une srie ordon- 

 ne suivant les puissances ascendantes de la diffrence t t, mais aussi 

 en une srie ordonne suivant les puissances ascendantes du paramtre a, 

 sauf dmontrer ensuite, l'aide du calcul des limites, que la srie obte- 

 nue est convergente, du moins sous certaines conditions, et reprsente 

 alors l'intgrale cherche de l'quation (i). Or, le dveloppement de l'in- 

 connue X en une srie ordonne suivant les puissances ascendantes de a 

 se dduira aisment du thorme de Maclaurin , si le second membre X 

 de l'quation (i) s'vanouit avec le paramtre a. Alors, en effet, on tirera 

 de l'quation (i), en posant a = o, 



Ii,x = o, X = ^, 



et par suite le thorme de Maclaurin donnera 



(3) X = ^ + I.a + I,a +., 

 la valeur de I tant dtermine par la formule 



(4) I- = -^ , 



dans laquelle on devra poser, aprs les diffreutialions , a = o et x-=z^. 

 D'ailleurs, X tant une fonction donne de 



X, t.^ et,, 



on tirera successivement de l'quation (i) 



TT,J)^x DX + D^XD^x, 



B,D:x = DIX + aD.D^XD.x + D^X(D,^) + D^XBlx, 

 BMoc = Dix + 3D:D,XD,j7 + 3DDxX(D^x)* + mX(D^x) 

 H- 3D,D.XD:^ + ZmXD^xDlx + D^XDi^, 

 etc.; 



puis, en posant a= o, et par suite 



X = o, D,X = o, D;X = o, DIX = o, etc., 



