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 sauces ascendantes d'un paramtre a que renfermeraient les quations don- 

 nes , ou enfin suivant les puissances ascendantes d'un paramtre a. que l'on 

 introduirait dans ces qu;tions, sauf lui donner plus tard une valeur nu- 

 mrique en le rduisant, par exemple, l'unit. On doit surtout remarquer 

 le cas o, en vertu des quations que l'on considre, les drives des incon- 

 nues, prises par rapport au temps, s'vanouissent toutes avec le paramtre a. 

 Alors les coefficients des diverses puissances de a, dans les sries obtenues, 

 se dduisent les uns des autres par des intgrations relatives t, dont cha- 

 cune doit tre effectue, partir <=t ; et en consquence, les divers termes 

 des dveloppements se trouvent reprsents par des intgrales dfinies 

 multiples, les fonctions sous le signe y tant des sommes de produits dont 

 les facteurs variables sont les drives de fonctions connues diffrenties 

 une ou plusieurs fois par rapport aux variables x,j, z,..., et au paramtre a.. 

 D'autre part, en vertu du thorme gnral sur le dveloppement des 

 fonctions, les sries obtenues reprsenteront effectivement les intgrales 

 des quations donnes, si le module de la diffrence t t, ou du para- 

 mtre a. , est tel que , pour ce module ou pour un modide plus petit, ces 

 sries ne cessent pas d'tre convergentes, ni les valeurs (\eT),x, D,^, . . . 

 que dterminent les quations diffrentielles, d'tre des fonctions conti- 

 nues des variables x, j;z,. . .,t et du paramtre a. Enfin, la recherche 

 de ces conditions se trouvera toujours rduite, par les thormes noncs 

 dans la Note que renferme le Compte rendu de la sance prcdente, l'in- 

 tgration de certaines quations auxiliaires , dont le systme sera compris, 

 comme cas particulier, dans celui des quations diffrentielles proposes. 

 Doue, pour s'assurer que l'on peut intgrer par sries ces dernires qua- 

 tions , il suffira de s'assurer que l'on peut intgrer par sries les quations 

 auxiliaires, ou, ce qui revient au mme, que l'on peut dvelopper eu 

 sries convergentes les intgrales des quations auxiliaires , exprimes en 

 termes finis. Il y a plus : les restes des sries, qui reprsenteront les int- 

 grales des quations auxiliaires, seront des quantits positives suprieures 

 aux modules des restes correspondants des sries qui reprsenteront les 

 intgrales des quations donnes; ce qui permettra de fixer une hmite su- 

 prieure l'erreur que l'on commettra quand on arrtera l'une quelcon- 

 que de ces sries aprs un certain nombre de termes. 



Dans le prsent Mmoire, j'applique les principes que je viens d'expo- 

 ser, d'abord des quations diffrentielles quelconques du premier ordre, 

 puis ensuite des quations d'une forme particulire et qui mritent une 

 attention spciale , attendu que leur intgration permet de rsoudre un des 



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