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Choisissons pour variables du problme les inclinaisons des deux orbi- 

 tes au plan invariable, les deux rayons vecteurs, les angles qu'ils forment 

 avec l'intersection commune des plans des deux orbites, enfui l'angle que 

 forme cette intersection situe, comme on a vu, dans le plan invariable, 

 avec une droite fixe de ce plan. On trouvera que ce dernier angle dispa- 

 rait entirement du systme des e'quatiotis diffrentielles et se dtermine 

 aprs leur intgration par une quadrature. Donc, dans cette nouvelle 

 forme des quations diffrentielles n'entre aucune trace des noeuds. Les 

 six quations diffrentielles du second ordre, qui expriment le mouvement 

 relatif tles trois corps, s'y trouvent rduites cinq quations du premier 

 ordre et une seule du second. Par suite, l'on a fait cinq intgrations. Les 

 intgrales connues n'tant qu'au nombre de quatre, on pourra donc dire 

 que l'on a fait une intgration de plus dans le systme du monde. Je dis dans 

 le systme du monde, puisque la mme mthode s'applique un nombre 

 quelconque de corps. 



ANALYSE. 



i. Soient m la masse du Soleil, /n, et m, celles des deux plantes; soient 

 ?, u, C; ii t^ij Ci ?' ^a C '^s coordonnes rectangulaires des trois 

 corps m., m, , ;,, rapportes leur centre de gravit. Comme on a les trois 

 quations 



)"2 0-(-Hi,, 4-/71.0. =o, 

 m\j-\- m, -j, +m. u.= o, 

 m -t- w, r, + '. C. == o 



il sera permis de faire 



(2) j ^,=,a- + /3.a: u,r=a.j4-/3,j ,=a,z+ /3,z 



( ^.=a,j:'-t-/3.a7 u.=a.j4-/3.j ^.=a.z+^,r., 



les six constantes a , /S, etc., devant satisfaire aux deux conditions 



m a -^ m, et, -^ m, a, z= o, 

 /n iS + ,n. /3, + m. ^. = o. 



Supposons de plus que, par les substitutions (2) , la somme des forces vives 



