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finie des lments elliptiques , et dont l'autre dcrot indfiniment tant 

 qu'un certain nombre entier crot au-del de toute limite ; ou bien encore 

 ce coefficient peut tre reprsent par un srie simple de quantits dont 

 chacune est exprime par une fonction finie, mais transcendante, des l- 

 ments elliptiques. Les fonctions finies dont nous venons de parler se trou- 

 vent reprsentes chacune par un double rsidu, relatif deux variables 

 auxiliaires que l'on substitue aux exponentielles trigonoratriques qui ont 

 pour arguments les anomalies excentriques, et pris entre les limites o, i du 

 module de chaque variable. La premire opration faire pour calculer 

 ce double rsidu est de rechercher les valeurs des variables auxiliaires qui 



rendent infinie la fonction sous le signe o. Or il arrive fort heureusement 



que ces valeurs sont en trs-petit nombre et se rduisent celles que je 

 vais indiquer. 



Dans le nouveau dveloppement de la fonction perturi)atrice, le fac- 

 teur variable, par lequel chaque transcendante se trouve multiplie, est 

 non-seulement une fonction entire des quatre exponentielles trigonora- 

 triques qui ont pour arguments les longitudes des prihlies et ces mmes 

 longitudes prises en signes contraires , mais encore une fonction en- 

 tire de l'un des rayons vecteurs des deux plantes et du nombre in- 

 verse de l'autre , savoir , du plus petit de ces rayons et du nombre inverse 

 du plus grand. Cela pos, en partant des formules que j'ai rappeles 

 dans le Mmoire du 14 septembre 1840, on reconnatra immdiatement 



que, dans chaque double rsidu , la fonction sous le signe c devient infi- 

 nie pour deux valeurs au plus de chacune des variables auxiliaires corres- 

 pondantes aux deux plantes. Ces valeurs, pour la variable auxiliaire qui 

 correspond la plante la plus loigne du Soleil , sont, 1 la valeur zro ; 

 2" une valeur positive reprsente par la tangente de la moiti de l'angle 

 dont le sinus est l'excentricit. La seconde de ces deux valeurs disparat 

 pour la variable auxiliaire qui correspond la plante la plus voisine du 

 Soleil. Par consquent chaque double rsidu, pris entre les limites 0,1 des 

 modules des variables auxiliaires, se dcompose en deux rsidus partiels, et 

 qui sont relatifs , l'un des valeurs nulles des deux variables auxiliaires , 

 l'autre la valeur positive de la premire variable et la valeur zro de 

 la seconde. Par suite aussi la srie des quantits que renferme le coeffi- 

 cient d'un terme priodique se dcomposera en deux autres sries, for- 

 mes par des rsidus partiels de la premire et de la seconde espce. 



