( 3o3 ) 



Or, ce qu'il importe de remarquer, c'est que la seconde de ces deux 

 sries offrira une somme exprime par une fonction finie, mais transcen- 

 dante des lments elliptiques. Donc, pour obtenir le coefficient d'un 

 terme priodique , il suffira de joindre une semblable fonction la somme 

 d'une srie simple de rsidus partiels relatifs des valeurs nulles des deux 

 variables auxiliaires. 



Enfin , l'aide de l'un des thormes noncs dans la sance prc- 

 dente, j'tablis sans peine quelques proprits remarquables des fonc- 

 tions finies, par lesquelles sont reprsents les divers rsidus partiels 

 dont je viens de parler. Je prouve, par exemple, que chacun de ces 

 rsidus est une fonction paire des deux quantits qui reprsentent les 

 tangentes des moitis des angles qui ont pour sinus les excentricits, et 

 mme une fonction paire de chacune d'elles, oue produit d'une semblable 

 fonction par ces mmes quantits. 



Observons encore que le coefficient de chaque terme priodique peut 

 tre dcompos, si l'on veut, en une somme de produits dont chacun 

 ne renferme que les lments elliptiques d'une seule plante. Pour y par- 

 venir, il suffit, 1 de dvelopper les puissnnces entires de la diffrence entre 

 les carrs des rapports des rayons vecteurs aux demi grands axes, suivant 

 les puissances entires des deux diffrences que l'on obtient en retranchant 

 l'unit deces mmes carrs; 2 de dvelopper, par une formule trs-simple 

 que je dduis du thorme de Lagrange, le cosinus d'un multiple de 

 la distance apparente des deux plantes suivant les puissances paires du 

 sinus de la moiti de l'inclinaison mutuelle des deux orbites. De cette 

 dcomposition il rsulte immdiatement que le coefficient de chaque 

 terme priodique peut tre exprim l'aide de quelques-unes des trans- 

 cendantes, auxquelles on parvient, en multipliant une puissance entire, 

 positive ou ngative, du rayon vecteur d'une plante par une puissance 

 entire, positive ou ngative, de l'exponentielle trigonomtriquequi a pour 

 argument la longitude du prihlie, et en dveloppant le produit ainsi obtenu 

 suivant les puissances entires de l'exponentielle trigonomtriqne qui a 

 pour argument l'anomalie excentrique. Je prouve d'ailleurs que ces nou- 

 velles transcendantes sont lies entre elles par des quations linaires 

 qui permettent de les dduire les unes des autres. Ces quations se tirent 

 aisment d'un thorme gnral que j'ai donn dans un autre Mmoire, 

 et qui se rapporte au dveloppement d'une fonction en srie d'exponen- 

 tielles trigonomtriques. 



42.. 



