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cup longtemps les gomtres , telles, par exemple, que la dtermination 

 directe du terme gnral du dveloppement d'un polynme quelconque. Ces 

 quations, nous les avons intgres compltement pour la premire fois; en- 

 suite nous avons cherch exprimer les conditions auxquelles doivent 

 satisfaire les diffrentes fonctions entires, et nous sommes parvenu 

 assigner les caractres de ces fonctions sans introduire dans l'analyse aucune 

 notation nouvelle. C'est l'aide des fonctions discontinues que nous avons 

 surmont la difficult qui semblait empchei- de caractriser ainsi les fonc- 

 tions entires. Les fonctions discontinues, qui formrent le sujet de discus- 

 sions si vives entre les plus illustres gomtres du sicle dernier, ont t 

 employes de nos jours avec bonheur par Fourier, qui, par une analyse aussi 

 subtile que profonde , a su mettre l'existence de ces fonctions l'abri de 

 toute discussion, mais qui, absorb par .ses belles recherches de physique 

 mathmatique, ne s'est peut-tre pas arrt suffisamment aux consquences 

 importantes que l'emploi de ces fonctions pouvait avoir dans l'analyse pure. 

 Aprs Fourier, les fonctions discontinues ont t surtout employes dans 

 des problmes de physique mathmatique, pour exprimer certaines condi- 

 tions qui se ralisent difficilement ; mais les proprits analytiques de ces 

 fonctions, ainsi que l'emploi que l'on pouvait en faire dans la thorie des 

 fonctions entires, n'ont pas t assez gnralement tudis. 



)) Il n'est pas inutile de remarquer que, quoique les corps de dimensions 

 finies qui tombent sous nos sens soient gnralement disjoints et discontinus, 

 l'espritanalytiques'attachedeprfrenceauxproblmeso la continuit peut 

 treintroduite, et oia les accroissements infiniment petits que l'on donne aux 

 variables chappent aux sens, tandis qu'il parait repousser tout cequi est dis- 

 continu. 11 est vrai que, pour un certain nombre de lignes, de surfaces ou de 

 corps, l'introduction des imaginaires fait passer facilement d'une partie une 

 autre du systme, et satisfait aux conditions des limites ; mais, sans nous ar- 

 rter discuter ici la question de savoir si le passage du rel l'imaginaire 

 n'est pas lui-mme une solution de continuit, nous ferons remarquer que , 

 mme dans ce cas, la continuit ne%ubsiste qu' la condition de considrer 

 le systme tout entier, et que, chaque fois qu'il s'agit d'une portion quel- 

 conque de lignes, de surfaces et de corps; que chaque fois que l'on consi- 

 dre un polygone ou un polydre, ces figures et ces corps chappent la 

 > continuit. Qu'y a-t-il de plus simple, par exemple, qu'un triangle.? Pour- 



tant celle figure, analyliquement parlant, est discontinue , et, dans l'tat 

 actuel de la thorie des courbes, le contour du triangle ne peut pas 

 , tre reprsent par une seule formule. Il en est de mme de la srie des 



nombres naturels dont nous avons dj parl, et les nombres i, 2, 3, etc.. 



