(4o5 ) 



sont discontinus et ne peuvent tre exprims en algbre qu'en supposant 

 une condition qui n'est pas crite. Ces exemples si simples sont bien pro- 

 pres faire comprendre l'utilit, la ncessit mme de l'emploi des fonctions 

 discontinues dans l'analyse. Plus on avance, plus on reconnat cette nces- 

 sit, et, lorsqu'on tudie fond cette matire, on est port naturellement 

 considrer toute fonction finie comme pouvant se rattacher une fonc- 

 tion discontinue. En effet, une fonction finie tant donne, on peut tou- 

 jours concevoir qu'au del de ses limites, elle se rattache une infinit 

 de fonctions discontinues qui, entre ces limites, se rduisent la fonction 

 donne. C'est ainsi, pour chercher un exemple dans les lments de la tho- 

 rie des courbes, qu'un arc de cercle, d'une longueur dtermine , peut tre 

 considr comme un des cts d'une infinit de polygones diffrents, aux- 

 quels il se rattache par des formules discontinues, et dont un seul, le 

 cercle, est continu. 



Nous ne nous arrterons pas ici aux diverses fonctions discontinues 

 dj employes par diffrents gomtres. Nous rappellerons seulement que, - 

 dans un Mmoire publi depuis plusieurs annes, nous avons montr 

 comment toute fonction discontinue pouvait se dcomposer en deux 

 facteurs, dont l'un exprimait la condition de discontinuit entre deux 

 limites donnes , et l'autre donnait les valeurs que devait prendre la fonc- 

 tion entre ces mmes limites. Ces conditions de discontinuit s'expfcment 

 facilement par des intgrales dfinies de mme genre que celles qui ser- 

 vent reprsenter les fonctions discontinues elles-mmes; mais, comme 

 ces fonctions doivent tre souvent employes dans des problmes d'alg- 

 bre ou de thorie de nombres o les intgrales dfinies ne pourraient gure 

 figurer, nous avons cherch des formules plus simples, propres aux applica- 

 tions algbriques. Ces fonctions lmentaires n'offrent aucune difficult, 

 surtout quand il s'agit de les appliquer aux fonctions entires : elles re- 

 posent sur les proprits les plus simples des exposants et elles ont l'a- 

 vantage d'introduire dans l'algbre ordinaire des mthodes qui semblaient 

 jusqu'ici rserves pour la haute analyse. 



Un des cas les plus frquents de discontinuit dont les gomtres 

 aient s'occuper, consiste dans l'application un petit nombre de 

 termes d'une formule gnrale qui suppose l'existence d'une srie in- 

 dfinie. Ainsi, le dveloppement d'une puissance quelconque d'un po- 

 lynme indfini tant connu, comment devra -t-on s'y prendre pour ap- 

 pliquer cette formule un trinme (i) ou un quadrinme donn? Ce 



(0 Au trinme ar" -f- Ax"" -j- cxP, par exemple. 



