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genre de discontinuit offre de notables difficults. Pour les aplanir, il 

 faut complter la srie que l'on doit traiter et la rduire un polynme 

 indfini, l'aide de certaines fonctions discontinues soumises toutes la 

 mme loi , mais qui ne laissent subsister que les termes que l'on doit 

 considrer. De cette manire, ces termes prennent place dans une srie 

 indfinie , le dveloppement s'opre rgulirement ; et comme les 

 termes rpie l'on a ajotits pour obtenir cette rgularit sont tous multiplis 

 par une fonction qui se rduit zro, ils disparaissent dans l'expression 

 finale laquelle , sans en altrer la valeur, ils donnent une rgularit 

 et une gnralit qui lui manqueraient autrement. Il arrive ici peu 

 prs ce qu'on voit dans la srie de Maclaurin, o , aprs avoir diffrenci, 

 si l'on gale zro la variable , il ne reste que le terme dont on veut 

 dtenniner le coefficient. Seulement, en compltant, comme nous venons 

 de le dire, une portion de srie sur laquelle on veut oprer, il n'y a ni 

 diffrentiation ni auciuie autre opration effectuer, et les fonctions 

 discontinues sont choisies de manire qu'elles s'vanouissent d'elles- 

 mmes quand elles multiplient des termes qui ne doivent pas se trouver 

 dans le rsultat final. Il est facile de voir que par l'emploi de fonctions 

 discontinues diffrentes, on pourrait complter ces portions de srie d'une 

 infinit de manires, et que , malgr la diversit apparente des formules, 

 on p^viendrait toujours aux mmes rsultats. 



C'est en intgrant par la mthode des substitutions successives une 

 quation aux diffrences d'ordre indfini que nous avons obtenu pour la 

 premire fois, directement, le terme gnral du dveloppement d'un po- 

 lynme quelconque, sans passer par les termes prcdents, et sans rame- 

 ner la question une autre question qu'on ne saurait pas rsoudre gn- 

 ralement, comme on l'avait fait toujours. Cette question nous a amen 

 tudier particulirement les quations aux diffrences dont l'ordre et 

 le nombre des termes augmentent avec la valeur de la variable. Ces 

 quations, qu'on n'avait jamais considres d'une manire spciale, mais qui 

 renferment la solution d'un grand nombre de problmes intressants , 

 peuvent toujours tre intgres compltement. Non-seulement on obtient 

 par notre mthode la loi de la srie qui exprime l'intgrale , mais nous 

 avons montr que l'on peut toujours avoir cette intgrale sous forme finie, 

 sans qu'il soit ncessaire d'effectuer aucune opration nouvelle , et en em- 

 ployant seulement le signe 2, dj affect par les analystes ces sortes 

 d'intgrales, et qui exprime, comme on le sait, la somme d'un certain 

 nombre de termes semblables. Aprs avoir intgr ces quations d'ordre 



