(4o7) 

 indfini, nous nous sommes aperu (jti'tant donne une quation aux <lif- 

 frences d'un ordre fini quelconque, il tait possible, l'aide des fonc- 

 tions discontinues , de ramener cette dernire quation une autre 

 quation d'ordre indfini , et qu'il suffisait pour cela d'employer un ar- 

 tifice analogue celui qui nous avait permis de transformer en un po- 

 lynme indfini un polynme compos d'un nombre fini de termes. C'est 

 ainsi que, dans un travail insr dans le XIV volume des Mmoires de 

 l'Acadmie royale des Sciences de l'Institut , nous avons pu intgrer les 

 quations linaires aux diffrences du second ordre coefficients constants 

 on variables. On sait que Lagrange a intgr l'quation linaire aux diff- 

 rences du premier ordre, et (jueLaplaceet d'autres gomtres avaient cber- 

 ch plusieurs reprises intgrer, sous forme finie, les quations linaires 

 coefficients variables du second ordre. Jusqu'au moment o nous avons donn 

 l'intgrale gnrale de ces quations, on pensait gnralement que, pour les 

 quations aux diffrences, il fallait se borner peu prs aux mmes cas aux- 

 quels on est forc de s'arrter pour les quations diffrentielles. Cependant, 

 ds nos premires recherches en ce genre de questions, nous n'avons jamais 

 partag cette opinion : il nous semblait en effet qu'on ne devait nulle- 

 ment tablir une comparaison de cette nature entre les quations aux 

 diffrences qu'on peut toujours rsoudre pour des valeurs donnes quelcon- 

 ques de la variable, et les quations diffrentielles qui sont presque toujours 

 galement difficiles intgrer sous forme finie, soit qu'il s'agisse de la valeur 

 gnrale , soit que l'on se borne chercher des valeurs numriques de la 

 variable. 



La mthode expose dans le Mmoire que nous venons de citer peut 

 s'appliquer aux quations linaires aux diffrences de tous les ordres, et 

 nous avons remarqu rcemment qu'on peut l'tendre une quation quel- 

 conque aux diffrences, linaire ou non linaire. Cependant, comme il 

 serait peut-tre difficile d'aprs le court Mmoire que nous avons dj 

 publi sur ce point , de bien comprendre comment, et par quel moyen on 

 peut rsoudre ce problme, qui est un des plus gnraux que les analystes 

 aient jamais entrepris, nous avons pens qu'il fallait reprendre cette 

 thorie et l'exposer avec tous les dveloppements ncessaires aux gom- 

 tres. C'est ce que nous avons fait dans le Mmoire que nous avons l'hon- 

 neur de prsenter aujourd'hui l'Acadmie. 



Sans entrer ici dans des dtails qui ne peuvent tre facilement saisis qu' 

 l'aide des formules et des dveloppements analytiques qu'on trouvera dans 

 la suite de ce Mmoire, nous nous bornerons dire que nous nous sommes 



C. R., i84a, a Semestre. (T. XV, N" 9) 56 



