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po(Je quelconque , par exemple, au bout du temps <, les fonctions arbi- 

 traires seront celles qui reprsenteront au premier instant les dplace- 

 ments molculaires, et leurs drives prises par rapport au temps, ou les 

 vitesses des molcules. Si , au contraire , le mouvement tant suppos connu 

 une poque quelconque dans une portion du systme, il s'agit d'en con- 

 clure le mouvement transmis une autre portion spare de la premire 

 par une surface plane ou courbe, par exemple, par le plan desj^, z, les 

 fonctions arbitraires reprsenteront les dplacements des molcules situes 

 dans ce plan , c'est--dire les dplacements molculaires correspondant 

 une valeur nulle de l'abscisse x, et les drives de ces dplacements rela- 

 tives X, ou plutt les valeurs que prennent ces drives pour une valeur 

 nulle de x. Ce n'est pas tout : l'on peut concevoir, dans la premire hypo- 

 thse, que l'branlement initial reste circonscrit dans une certaine portion 

 (le l'espace, ou, en d'autres termes, que les dplacements et les vitesses des 

 molcules s'vanouissent au premier instant pour tous les points de l'espace 

 situs hors d'une certaine enveloppe. Pareillement on peut concevoir, 

 dans la seconde hypothse, que le mouvement propag une poque quel- 

 conque d'un certain ct du plan de ^, z , par exemple , du cl des a: n- 

 gatives, traverse seulement une portion de ce plan renferme dans un cer- 

 tain contour, et se trouve intercept dans ce mme plan en chacun des 

 points situs hors de ce mme contour. Ces restrictions tant admises , chaque 

 fonction arbitraire sera une fonction discontinue des coordonnes qu'elle 

 renferme , et cette fonction discontinue , qui s'vanouira pour tous les points 

 situs dans l'espace hors d'une certaine enveloppe, ou dans le pian de jz 

 hors d'un certain contour, pourra tre reprsente par une somme d'ex- 

 ponentielles qui prendra la forme d'une intgrale dfinie sextuple ou qua- 

 druple. D'ailleurs, dans la seconde hypothse , comme dans la premire, 

 les mthodes que nous avons donnes pour l'intgration des systmes d'- 

 quations aux drives partielles pourront tre immdiatement appliques 

 la recherche des valeurs gnrales des inconnues. Mais l'interprtation 

 des formules l'aide desquelles ces valeurs gnrales seront exprimes 

 peut offrir, dans la seconde hypothse, de srieuses difficults que nous 

 allons claircir, et dont la solution nous parat devoir contribuer notable- 

 ment aux progrs de la physique mathmatique. 



En vertu du thorme de Fourier, et d'autres thormes analogues 

 que j'ai donns dans les Exercices j toute fonction continue, ou mme 

 discontinue, peut tre reprsente par la somme d'un nombre fini ou in- 

 lini d'exponentielles relles ou imaginaires. Par suite, comme je l'ai dj 



