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nomme caractristique, c'est--dire la considration d'une seule qua- 

 tion aux drives partielles substitue un systme donn d'quations dif- 

 frentielles. Les quations finies du mouvement elliptique tant connues, 

 on en dduit, par la formule de Lagrange, les valeurs de l'anomalie et du 

 rayon vecteur dveloppes en sries dont tous les termes, si l'on excepte 

 le premier dans le dveloppement de l'anomalie, sont priodiques, et ren- 

 ferment le temps t sous les signes sinus et cosinus. Les rgles de la con- 

 vergence de ces sries, et les limites des erreurs que l'on commet lors- 

 qu'on nglige les termes dont l'ordre surpasse un nombre donn, se 

 dduisent immdiatement de la thorie gnrale que j'ai prsente dans 

 un Mmoire de i83i , et dans plusieurs articles que renferment les Comptes 

 rendus des sances de l'Acadmie. 



La thorie du mouvement elliptique tant tablie, comme on vient de 

 le dire, il reste examiner comment on passera de cette thorie celle 

 des mouvements troubls par les actions rciproques des plantes et de 

 leurs satellites. Alors se prsentent rsoudre deux problmes importants 

 d'analyse, dont M. Laplace s'est occup dans le cinquime chapitre du 

 second livre de la Mcanique cleste , et dont je vais rappeler l'objet en 

 peu de mots. 



Le premier problme est l'intgration complte d'un systme d'qua- 

 tions diffrentielles, lorsqu'on suppose connues les intgrales approches 

 relatives au cas o l'on nglige certains termes. M. Laplace applique la 

 solution de ce problme deux mthodes distinctes, savoir : i la mthode 

 des facteur, qui ne russit que dans le cas o les quations donnes sont 

 linaires, et reproduit alors les rsultats obtenus par Lagrange ; i la m- 

 thode des approximations successives, dont l'ide premire pourrait tre 

 attribue Newton. L'application directe de cette dernire mthode un 

 systme d'quations diffrentielles ne donne leurs intgrales compltes 

 que dans des cas particuliers, par exemple, dans celui qu'indique M. La- 

 place, et o la suppression des termes, que l'on nglige d'abord, trans- 

 forme ces quations diffrentielles en quations linaires coefficients 

 constants. Mais fort heureusement l'applicalion de la mme mthode 

 l'quation caractristique rsoudra le problme dans tous les cas; alors 

 le thorme trs simple, que j'ai donn dans une prcdente sance, four- 

 nira toujours immdiatement l'intgrale en srie de cette quation carac- 

 tristique, et par consquent les intgrales gnrales des quations diff- 

 rentielles donnes. Ainsi la considration de l'quation caractristique, 

 correspondante un systme d'quations diffrentielles, fournit , non-seu- 



