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 leraent, d'lgantes mthodes d'intgration, lorsque les intgrales rigou* 

 reuses peuvent s'obtenir en termes finis, mais encore le dveloppement 

 des intgrales compltes en sries rgulires, lorsqu'on ne peut obtenir en 

 termes finis que des intgrales approches. J'ajouterai que les dveloppe- 

 ments ainsi trouvs se prsentent sons une forme telle qu'il devient fa- 

 cile d'y effectuer ce qu'on appelle un changement des variables indpen- 

 dantes , dans le cas surtout o les premires valeurs approches des variables 

 principales deviennent constantes. Ce cas se prsente dans l'astronomie, 

 quand aux quations diffrentielles du second ordre qui dterminent les 

 coordonnes des plantes et des satellites, on substitue les quations dif- 

 frentielles du premier ordre qui dterminent les lments elliptiques des 

 orbites considrs comme variables avec le temps. 



Au reste, au thorme gnral que je rappelais tout--1'heure, et au- 

 quel les gomtres ont bien voulu faire un accueil si favorable , je vais 

 joindre, dans ce Mmoire, d'autres propositions plus importantes, ce me 

 semble, qui me paraissent devoir plus particulirement intresser les as- 

 tronomes, et contribuer aux progrs de la Mcanique cleste. Entrons ce 

 sujet dans quelques dtails. 



Les quations diffrentielles qui dterminent les variations des lments 

 elliptiques, renferment avec ces lments et leurs drives du premier 

 ordre relatives au temps t, les drives partielles d'une certaine fonction d- 

 signe par R dans la Mcanique cleste; et quand on se propose d'int- 

 grer par sries ces quations diffrentielles, il est utile de commencer par 

 dvelopper la fonction R en une srie priodique dont chaque terme soit 

 ou constant ou proportionnel au sinus ou au cosinus d'un arc reprsent 

 par une fonction linaire du temps. Effectivement, on peut substituera 

 R un dveloppement de cette forme qui reprsentera R au bout d'un temps 

 quelconque. La fonction R tant dveloppe comme on vient de le dire, 

 les intgrations simples ou multiples , et relatives au temps, qui se trouvent 

 successivement amenes par la seconde approximation et par les suivantes, 

 produiront , dans les quations intgrales, le temps t hors des signes sinus 

 et cosinus. On ne doit pas, pour cette raison, rejeter absolument les int- 

 grales dont il s'agit, ni s'imaginer qu'au bout d'un temps considrable elles 

 cessent de fournir le dveloppement des inconnues en sries convergentes; 

 car la mme circonstance se prsente dj dans l'intgration d'une seule 

 quation linaire coefficients constants, et alors le dveloppement de la 

 variable principale offre une srie ordonne, il est vrai, suivant les puis- 

 sances ascendantes de f, mais nanmoins toujours convergente, puisque 



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