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passages cits de Lagrange et de Laplace; cependant il m'avait sembl 

 qu'aprs un examen attentif j'tais parvenu rsoudre les objections qu'on 

 peut leur opposer. Mais dtourn de ce travail par d'autres recherches, je 

 n'en avais pas termin la rdaction. Les observations de M. Cauchy ont d 

 naturellement me le faire reprendre, et j'ai eu la satisfaction de voir se 

 confirmer l'exactitude de tous les rsultats contenus dans mes anciennes 

 notes. Je me crois donc en droit d'avancer et je me propose de prouver 

 dans l prsent Mmoire que les mthodes de Lagrange et de Laplace, 

 si elles ne sont pas rigoureuses , peuvent du moins tre rendues telles 

 l'aide de modifications trs lgres ou plutt l'aide d'explications qui 

 n'en altrent ni la marche ni le caractre essentiel , de sorte qu'en ajou- 

 tant quelques dtails, omis tort peut-tre par les illustres auteurs, mais 

 faciles suppler, on satisfait entirement la rigueur gomtrique. 



Il m'est impossible de transcrire ici les dmonstrations dtailles que 

 l'on trouvera dans mon Mmoire. Je me bornerai indiquer en peu de 

 mots les points principaux: 



i. Pour bien comprendre pourquoi l'quation ok-j-k't-\rk"t t -+-etc. 

 (Mcanique cleste , t. I, p. 244) se dcompose dans les suivantes 

 kz= o, k' = o, k" == o, , il faut faire attention la quantit in- 

 dtermine a par rapport laquelle on a d'abord ordonn les calculs. 

 D'aprs la nature mme de la mthode des approximations successives, les 

 termes contenant en facteur la puissance i de t ont au moins a' pour fac- 

 teur. Ainsi k, k', k", .... sont de la forme k = k, -f- ak ,+*/;,+ , 



k' = ak' + a % ki + k' == a*k" + , etc. Substituant 



ces valeurs et galant sparment zro les coefficients des diverses 

 puissances de l'indtermine a, on trouve k, = o, k % -f- k' t t = o, 

 k t -h Kt + k[t x =sfc o, etc. Chacune de ces quations ne renfermant 

 plus le temps qu' une puissance limite, toute difficult disparat, et il 

 devient trs facile de prouver rigoureusement que l'on a 



, o, A:,' = o, k s = o, &,'=o, k" = o 



d'o i 



k = o , k' = o , k" sb o , . . . 



C'est par un raisonnement semblable que l'on peut justifier le principe 

 fondamental qui sert de base l'analyse de Lagrange. 



2. Les dveloppements donns par Laplace la page 245 (o l'on 

 trouve l'ide premire de la mthode employe par M. Ampre pour d- 



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