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grales dfinies doubles. On sait depuis long-temps que les coefficients 

 renferms dans les intgrales du mouvement elliptique peuvent tre 

 reprsents par des intgrales dfinies simples, et les coefficients renfer- 

 ms dans le dveloppement de la fonction perturbatrice par des int- 

 grales dfinies doubles. M. Hansen, de Gotha, s'est mme servi de ces 

 dernires (*) , dans sa pice sur les perturbations de Jupiter et de Saturne, 

 couronne par l'Acadmie de Berlin. Mais le calcul des intgrales dfinies 

 doubles, tel qu'on le pratiquait, tait encore assez pnible, comme l'a re- 

 marqu M. Poisson, qui lui-mme en avait indiqu l'usage, dans le pro- 

 blme qui nous occupe ici. Pour abrger les calculs, M. Liouville a pro- 

 pos une mthode, l'aide de laquelle on peut rduire des intgrales 

 simples, des valeurs approches des intgrales doubles. Je me suis de- 

 mand s'il ne serait pas possible de substituer gnralement, et sans rien 

 ngliger, des intgrales simples aux intgrales doubles, par une mthode 

 qui permt de calculer facilement le coefficient du terme gnral, dans le 

 dveloppement de la fonction perturbatrice. Aprs quelques recherches 

 sur ce sujet dlicat, j'ai eu la satisfaction d'obtenir des formules qui r- 

 solvent la question affirmativement. Ces formules ont d'ailleurs l'avan- 

 tage de conduire de nombreux thormes qui ne paraissent pas sans 

 importance dans la thorie des mouvements plantaires. 



D'aprs la mthode que j'ai suivie, chaque terme du dveloppement 

 de R se trouve compos de deux facteurs, dont l'un dpend unique- 

 ment des moyennes distances des plantes au Soleil, ou, ce qui revient 

 au mme, des grands axes de leurs orbites, des excentricits de ces orbites, 

 et des longitudes des prihlies; tandis que l'autre facteur, reprsent 

 d'abord par une intgrale dfinie double, dpend uniquement des incli- 

 naisons des orbites, de l'angle compris entre les traces de leurs plans sur 

 le plan fixe que l'on considre, et du rapport entre les grands axes des 

 orbites de la plante perturbatrice et de la plante trouble. Pour trans- 

 former les intgrales doubles en intgrales dfinies simples, il suffit 

 d'introduire dans le calcul un certain angle qui dpend uniquement des 

 inclinaisons des orbites et de l'angle compas entre les lignes des nuds, 

 puis de considrer comme termes spars ceux qui renferment, sous le 

 signe sinus ou cosinus, des multiples diffrents du nouvel angle. 



(*) On peut voir aussi, sur cet objet, un beau Mmoire de. M. Poisson, inse're' lans la 

 Connaissance des temps pour l'anne i836. 



