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dveloppe le rayon vecteur et l'anomalie vraie suivant les puissances crois- 

 santes de l'excentricit, sont convergentes tant que l'excentricit ne dpasse 

 pas une certaine limite; il avait montr qu'en supposant, pour plus de 

 simplicit, l'anomalie moyenne gale un angle droit, cette limite dpend 

 de la rsolution d'une quation transcendante dans laquelle entre la base 

 des logarithmes npriens. Depuis, M. Cauchy a retrouv et beaucoup 

 tendu cette importante proposition : l'analyse lgante et rigoureuse dont 

 il s'est servi lui a fourni, des rgles commodes pour la convergence des 

 sries qui proviennent de l'application de la formule de Lagrange et des 

 autres formules analogues employes par les gomtres pour dvelopper 

 les racines des quations. 



Dans le Mmoire que j'ai l'honneur de prsenter l'Acadmie, je me 

 propose d'abord de discuter une srie assez remarquable dont la conver- 

 gence ou la divergence dpend aussi du rapport de grandeur existant entre 

 le module du paramtre suivant les puissances duquel elle est ordonne et 

 une certaine racine d'une quation transcendante dtermine. L'quation 

 dont je parle a une infinit de racines positives ; c'est tantt la premire, 

 tantt lajseconde, tantt la m" me de ces racines qu'il faut considrer. La 

 convergence a lieu tant que le module. du paramtre est infrieur cette 

 premire, seconde, ou m iin " racine : au-del la srie devient divergente. 

 Je traite ensuite par les mmes principes d'autres sries plus compliques. 

 On verra peut-tre avec intrt reparatre dans ces problmes d'analyse 

 pure, auxquels elles semblent d'abord trangres, ces intgrales d'quations 

 diffrentielles du second ordre , dont nous nous sommes tant occups 

 M. Sturm et moi , et qui jouent un rle si important dans la thorie de 

 la chaleur et dans celle des corps lastiques. 



Soit x une variable relle comprise entre deux limites x, X: dsi- 

 gnons par <p et g deux fonctions de x , qui ne deviennent jamais inhnies, 

 et dont la premire est quelconque , tandis que la seconde est essentielle- 

 ment positive. Faisons 



et soit propose la srie 



<P + a<P, 4- '<P. + + <*"<?* 4- 



Voici la rgle l'aide de laquelle on dtermine les cas de convergence ou 

 de divergence de cette srie. 



