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Considrons la fonction V qui satisfait l'quation diffrentielle du 

 second ordre 



- + grY o, 



et aux conditions dfinies 



d\ 

 V = di ' P our " r = x: 



V sera une fonction V(x, r) de a: et de r. Maintenant dterminons r en 

 posant 



<*V(X, r) 



<ffi 



= <ar (r) = ' o ; 



l'quation <sr (r) = o aura une infinit de racines r, , r,,. . . r,. , que 

 nous supposons ici ranges par ordre de grandeur, et qui sont toutes 

 relles et positives. 



Cela pos, formons le produit 



V f gVtpdx, 



o x conserve hors du signe f la valeur dtermine entrant actuellement 

 dans <p + a<p, + etc. ; puis faisons successivement r r, , r = r a . . . . dans 

 ce produit, et dsignons par r m la premire racine pour laquelle il ne s'- 

 vanouit pas. La srie $ + a<p, -{- "p, + . . . est convergente quand le 

 module du paramtre a est infrieur r m , et divergente dans le cas 

 contraire. 



Quant la somme de la srie <p + a<p, -f- etc. , elle est videmment 

 gale <p + as, s dsignant une fonction de x et de a. qui satisfait la fois 

 l'quation indfinie 



d's 



- g s = g<p 

 et aux conditions dfinies 



ds 



s = o pour x = x, = o pour x = X. 



Une fonction -\J, (a) est dveloppable en srie convergente ordonne 

 suivant les puissances entires et positives de a, tant que le module de a. 



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