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Or c'est aussi une rduction du mme genre, opre l'aide de formules 

 propres convertir les fonctions en intgrales dfinies, qui m'a conduit 

 au nouveau thorme nonc et dvelopp, non-seulement dans les M- 

 moires lus ou publis Turin en i83i et i832, mais aussi dans une lettre 

 adresse M. Coriolis, sous la date du 29 janvier 183-7, thorme dont 

 j'ai donn une dmonstration lmentaire dans mes Exercices d'analyse et 

 dans les Comptes rendus de la prsente anne. Suivant ce thorme, tel 

 qu'on le trouve insr dans le Compte rendu de la sance du 11 juin der- 

 nier, une fonction d'une ou de plusieurs variables est dveloppable en srie 

 convergente ordonne suivant les puissances ascendantes de ces variables^ 

 tant que les modules de ces variables conservent des valeurs infrieures 

 celles pour lesquelles la fonction ou ses drives du premier ordre pour- 

 raient devenir infinies ou discontinues. 



Comme je l'ai observ dans ma lettre M. Coriolis (voir les Comptes 

 rendus des sances de l'anne 1837, 1 " semestre , p. 216), et dans la sance 

 du 22 juin, le thorme dont il s'agit ne s'applique pas seulement aux 

 sries qui reprsentent les dveloppements des fonctions explicites ou les 

 racines des quations algbriques ou transcendantes. Il est applicable aux 

 sries mmes qui reprsentent les intgrales gnrales d'un systme d'- 

 quations diffrentielles, par exemple, les intgrales gnrales des qua- 

 tions de la Mcanique cleste. Il y a plus, il serait applicable des sries 

 qui reprsenteraient les intgrales gnrales ou particulires d'une qua- 

 tion ou d'un systme d'quations aux drives partielles, ou aux diff- 

 rences finies, ou aux diffrences mles. En gnral, pour l'application de 

 ce thorme, il n'est nullement ncessaire que l'on connaisse, sous forme 

 explicite, la somme d'une srie; il suffit que l'on puisse reconnatre dans 

 quels cas la somme de la srie et la somme de sa drive deviennent infi- 

 nies ou discontinues. 



On voit donc que le thorme dont il s'agit ne se borne pas tablir 

 une relation singulire entre les conditions de convergence de quelques 

 sries, et la rsolution numrique de certaines quations transcendantes, 

 ni mme fournir des rgles commodes pour la convergence des sries 

 qui proviennent de l'application de la formule de Lagrange et des autres 

 formules analogues employes par les gomtres pour dvelopper les 

 racines des quations. Si, appliqu la thorie du mouvement ellip- 

 tique d'une plante, ce thorme reproduit une formule de M. Laplace, 

 s'il peut tre considr comme une extension de la proposition contenue 

 dans cette formule, c'est uniquement dans le sens oj'on peut dire que 



