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les formules de Taylor et de Maclaurin sont une extension de la formule 

 algbriqu-e connue sous le nom de binme de Newton. 



Au reste, le thorme en question vient d'tre soumis une preuve 

 nouvelle et dcisive , qui a montr combien il est propre fournir les v- 

 ritables rgles de la convergence des suites. Un de nos savants confrres 

 a lu, dans la dernire sance, une Note intressante et relative aux condi- 

 tions de convergence d'une classe gnrale de sries. Je n'assistais pas cette 

 lecture; mais, au moment o j'arrivai, il eut la bont de m'en indiquer 

 l'objet. Je lui dis alors qu'il me paratrait utile d'examiner si la rgle de 

 convergence laquelle il tait parvenu ne serait pas un corollaire de mon 

 thorme. Notre confrre a bien voulu avoir gard ma demande, et j'ap- 

 prends, par le Compte rendu de la sance, qu'il y a concidence parfaite 

 entre la rgle qu'il avait obtenue et celle que mon thorme pourrait 

 donner. 



Les intgrales d'un systme d'quations diffrentielles, comme nous 

 l'avons expliqu ailleurs, se trouvent toutes comprises dans l'intgrale g- 

 nrale de l'quation caractristique, et l'on peut de cette dernire qua- 

 tion dduire la valeur de chaque inconnue, ou d'une fonction quelconque 

 des inconnues, dveloppe en srie. D'ailleurs la srie qui reprsentera 

 cette fonction cessera gnralement d'tre convergente pour certaines 

 valeurs de la variable indpendante, comme aussi pour certaines valeurs 

 de l'un quelconque des paramtres compris dans les quations diffren- 

 tielles, ou bien encore de l'une quelconque des constantes arbitraires in- 

 troduites par l'intgration. Or, d'aprs le thorme ci-dessus rappel, les 

 rgles de convergence d'une semblable srie seront faciles tablir, et la 

 srie sera convergente tant que la fonction ou sa drive ne deviendront 

 pas infinies ou discontinues. Nous avons d'ailleurs donn dans le Cours 

 d'Analyse de seconde anne de l'cole Polytechnique, et nous avons dj 

 rappel, dans la sance du 22 juin , les conditions qui doivent tre gn- 

 ralement remplies pour que chaque inconnue reste fonction continue 

 de la variable indpendante et des constantes arbitraires introduites par 

 l'intgration. 



Lorsque les intgrales d'un systme d'quations diffrentielles s'ob- 

 tiennent en termes finis, on peut appliquer ou la formule de Lagrange, 

 ou d'autres formules analogues, au dveloppement de ces intgrales en 

 sries. Les nouvelles sries , obtenues par ce moyen , doivent concider 

 au fond avec celles que l'on dduirait de la considration de l'quation 

 caractristique, et offrent des transformations souvent remarquables de 



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