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n'tait pas une fonction toujours continue de x, y, z,.. . alors la srie 

 (7) ou (8) pourrait cesser d'tre convergente, non-seulement dans les 

 cas prvus par le 2 e thorme, mais aussi lorsque la fonction f(x, y, z,...) 

 deviendrait discontinue, par exemple dans le cas o des valeurs finies 

 de x, y, z,. . . produiraient une valeur infinie de cette mme fonction. 



Corollaire 3 e . Si an lieu de faire varier la valeur ou le module de la 

 diffrence t 8 ou du paramtre et , on faisait varier , ou un autre para- 

 mtre renferm dans les quations diffrentielles donnes, ou l'une quel- 

 conque des constantes arbitraires introduites par l'intgration, on devrait 

 encore videmment s'arrter au moment o la srie (7) ou (12) cesserait 

 d'tre convergente pour l'une des raisons indiques dans le 2 e thorme, 

 ou dans le corollaire prcdent. 



Les principes tablis dans ce paragraphe sont immdiatement appli- 

 cables un systme d'quations diffrentielles d'un ordre quelconque; 

 car, comme nous l'avons plusieurs fois remarqu, il suffit d'augmenter le 

 nombre des inconnues pour qu'un semblable systme se transforme 

 l'instant mme en un systme d'quations diffrentielles du premier 

 ordre. 



5 1J. Des intgrales sous forme finie d'un systme d'quations diffrentielles. Dve- 

 loppement de ces intgrales. 



Lorsque les intgrales d'un systme d'quations diffrentielles, par 



exemple des quations (1) ou (10) du I er , peuvent s'obtenir sous forme 



finie, la formule de Lagrange et d'autres formules analogues fournissent 



le moyen de dvelopper ces intgrales en sries ordonnes suivant les 



puissances ascendantes et entires des constantes arbitraires introduites 



par l'intgration, ou des paramtres renferms dans les seconds membres 



des quations diffrentielles. Ainsi, en particulier, on pourra, de cette 



manire, obtenir la valeur de l'une quelconque des inconnues x, y, z,... 



ou d'une fonction s de ces inconnues, dveloppe en une srie qui soit 



ordonne suivant les puissances ascendantes du paramtre a contenu 



comme facteur dans le second membre de chacune des quations (10). 



D'ailleurs cette dernire srie devra videmment concider avec celle que 



renferme le second membre de la formule (12) ou (i3) du $ I er ; de sorte 



que la nouvelle srie pourra se transformer en l'autre, et rciproquement. 



Supposons donc que les quations intgrer soient les quations (10) 



