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et, en vertu du thorme sur la convergence des sries, ('nonce dans mon 

 Analyse algbrique , le dveloppement de z sera convergent ou diver- 

 gent, suivant que le module de x sera infrieur ou suprieur 17t. 



On se trouve au reste ramen prcisment aux mmes conclusions 

 par le thorme que j'ai rappel dans le prcdent Mmoire. En effet, 

 suivant ce thorme, la fonction 



ne pourra cesser d'tre dveloppable en srie convergente ordonne 

 suivant les puissances ascendantes et entires de x qu' partir de l'instant 

 o elle deviendra infinie ou discontinue, par consquent, pour des mo- 

 dules de x suprieurs au plus petit des modules que prsentent les racines 

 de l'quation 



I = o, 



ou 



(4) t *=- m o. 



Or les racines de l'quation (4) concident avec celles des racines de l'- 

 quation 



1 e~ x =s o 



qui diffrent de zro, c'est--dire avec les valeurs de 



correspondantes des valeurs entires positives ou ngatives de k. Donc 

 les modules de ces racines se rduisent aux divers termes de la progres- 

 sion arithmtique 



27T, /{7T, 7T, ... 



et le plus petit de ces modules itt. 



Nous avons vu que les conditions (i) peuvent tre remplies sans que 

 la valeur de z soit dveloppable en srie convergente ordonne suivant 

 les puissances ascendantes de x. Nous ajouterons que le dveloppement 

 pourrait avoir lien dans des cas o l'une de ces conditions ne serait pas 

 vrifie. Ainsi, par exemple, si l'on suppose z dtermine en fonction ej, 



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