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donne suivant les puissances ascendantes de et restera convergent , jusqu'au 

 moment o le module de a permettra de vrifier la formule (17). Il est 

 ais de s'assurer que cette conclusion s'tend aux cas mmes o l'expo- 

 sant m deviendrait fractionnaire ou irrationnel, attendu que la fonction 

 x" et sa drive ne deviennent jamais discontinues que pour des valeurs 

 nulles ou infinies de x. Au reste la conclusion dont il s'agit peut tre 

 facilement vrifie sur l'intgrale en termes finis de l'quation (i4)> cette 

 intgrale pouvant tre prsente sous la forme 



1 

 ( l8 ) ^ = x[i (m i)x >ct(t Q)')~" rr i.. 



Pour que le dveloppement de x en srie ne cesst jamais d'tre con- 

 vergent, il faudrait que la valeur de a dtermine par l'quation (17) 

 devnt infinie. Cette condition se trouve remplie pour une seule valeur 

 de m, savoir, pour m = 1. Alors l'quation (14) devient 



D t x = ax , 

 et la formule (18), rduite 



x = xe"('- e ), 



fournit une valeur de x qui est effectivement toujours dveloppable en 

 une srie convergente ordonne suivant les puissances de et. Alors aussi 

 l'on a 



x = dx = D'x =. . . , 



par consquent 



D"x = x; 

 et la formule (1 3), rduite 



fol d ""K'0 +-;)]> 



peut tre facilement vrifie pour les valeurs 1 , 1 , 3 , . . . du nombre en 

 tier n. 



Supposons maintenant que l'on prenne 







= e , 



C. R., 1840, a"" Semestre (T. XI, N 18.) QO 



