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analyse mathmatique. Remarques nouvelles sur l'quation de 

 Riccati; par M. Liouville. 



L'quation diffrentielle du premier ordre, connue sous le nom d'qua- 

 tion de Riccati, a t l'objet des recherches d'un grand nombre de go- 

 mtres. Cette quation renferme dans son premier membre la somme de 

 deux termes , l'un gal la drive de la fonction principale y prise par 

 rapport la variable indpendante x, l'autre gal au produit du carr de 

 y par une constante : dans le second membre, il entre un seul terme pro- 

 portionnel une puissance de la variable indpendante: l'exposant m de 

 cette puissance peut tre nomm module de l'quation. 



Pour toutes les valeurs du module, on a trouv la valeur complte de 

 la fonction y exprime sous forme finie l'aide de quadratures dfinies. 

 Mais lorsqu'on se borne admettre dans le calcul les signes algbriques, 

 exponentiels et logarithmiques, les cas d'intgrabilit deviennent trs 

 rares. Ceux que l'on a indiqus rpondent, comme on sait, une certaine 

 forme des valeurs du module m, savoir 



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on les a obtenus par des artifices particuliers, et les mthodes qui les ont 

 fait connatre ne prouvent pas qu'ils soient les seuls possibles. On iguore 

 compltement s'il y a d'autres valeurs du module m pour lesquelles la fonc- 

 tion y pourrait s'exprimer en x l'aide d'un nombre limit de signes al- 

 gbriques, exponentiels et logarithmiques. A la vrit les efforts ritrs 

 des analystes pour dcouvrir quelque nouveau cas d'intgrabilit n'ayant 

 produit aucun rsultat , on est naturellement port croire qu'il n'en 

 existe aucun diffrent de ceux que nous venons de citer. On conoit pour- 

 tant que cela est loin de constituer une dmonstration rigoureuse. J'ai donc 

 pens qu'il pouvait tre bon de soumettre la question une analyse exacte, 

 et je suis parvenu dmontrer que les cas d'intgrabilit indiqus plus 

 haut sont en effet les seuls admissibles. J'ajoute qu'il en serait encore 

 ainsi lors mme qu'aux signes algbriques , exponentiels et logarithmiques, 

 on joindrait le signe J d'intgration indfinie relative la variable x. Ce 

 thorme est dmontr en dtail et d'une manire simple dans mon 

 Mmoire. 



