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analyse mathmatique, Sur la convergence des sries qui reprsentent 

 les intgrales gnrales d'un systme d'quations diffrentielles ; par 

 M. Augustin Cauchy. 



Suivant le principe gnral nonc dans mes Mmoires de 1 83 1 

 et i83, la loi de convergence des sries qui reprsentent les dveloppe- 

 ments des fonctions explicites ou implicites d'une ou de plusieurs variables 

 se rduit la loi de continuit. En partant de ce principe, on reconnat 

 aisment, comme je l'ai remarqu dans la dernire sance, que la re- 

 cherche des rgles de convergence, pour les sries qui reprsentent les 

 intgrales gnrales d'un systme d'quations diffrentielles, se rduit la 

 recherche de certaines intgrales particulires de ces mmes quations. 

 Concevons, pour fixer les ides, que les quations diffrentielles donnes 

 tant relatives un problme de mcanique, o le temps t est pris pour 

 variable indpendante, elles aient t rduites au premier ordre, et rso- 

 lues par rapport aux drives des inconnues, de manire offrir les va- 

 leurs de ces drives en fonction du temps et des inconnues elles-mmes. 

 On pourra reprsenter les valeurs gnrales des inconnues par des sries 

 ordonnes suivant les puissances ascendantes et entires d'un paramtre a, 

 qui serait considr comme facteur commun des seconds membres de 

 toutes les quations diffrentielles , et que l'on rduira simplement l'unit 

 lorsqu'on aura construit les divers dveloppements. D'ailleurs les sries dont 

 il s'agit pourront n'tre pas toujours convergentes, quelque soit le temps t. 

 Au contraire, elles cesseront ordinairement d'tre convergentes quand la 

 valeur numrique du temps t deviendra suprieure une certaine limite. 

 Or cette limite sera la plus petite des valeurs de t correspondantes aux in- 

 tgrales particulires que l'on obtient lorsqu'en supposant le module de a 

 rduit l'unit, on joint aux quations diffrentielles donnes les con- 

 ditions qui expriment que les inconnues, ou les fonctions propres repr- 

 senter les drives des inconnues, ou les drives de ces fonctions prises 

 par rapport aux inconnues elles-mmes, deviennent infinies ou discon- 

 tinues. 



Lorsque les intgrales particulires qui doivent fournir les valeurs de t 

 ci-dessus mentionnes ne peuvent pas s'obtenir en termes finis, on peut du 

 moins calculer ces valeurs avec telle approximation que l'on voudra, soit 

 l'aide de la mthode d'intgration que j'ai dveloppe dans mes Leons de 

 seconde anne l'cole Polytechnique, soit l'aide de nouveaux dvelop- 

 pements en sries. On pourrait aussi recourir divers thormes que j'ai 



