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 on aura, pour de trs petites valeurs du module de a, 



(4) = x + * f e 'n t xd9, + o^flfl o^xd^dQ, + . . . , 



O,, Djj,- tant ce que devient D quand on y remplace successivement 

 9 par diverses variables auxiliaires Q n //5 . . . Si d'ailleurs les fonctions 



P, D.P, 



ne peuvent devenir discontinues qu'en devenant infinies , la formule (6) 

 continuera gnralement de subsister, et de fournir le dveloppement de x 

 en srie convergente ordonne suivant les puissances ascendantes de a, 

 jusqu'au moment o l'accroissement attribu soit la valeur relle de t, 

 soit au module de et, permettra de vrifier l'une des conditions 



(5) x = , P=l, D,P = f 



Dans le cas particulier o l'on prend et = i, l'quation () se rduit 



(<i) T>,x = P, 



et la valeur de x, dveloppe en srie, 



( 7 ) x= x + J* n^+fj^ D^x^rf, +... 



Gbercbons maintenant dduire de l'quation (i), jointe aux con- 

 ditions (5), la valeur de t pour laquelle Je dveloppement de x cesse 

 d'tre convergent; et, pour plus de commodit, supposons d'abord que 

 chacune des formules (5), rsolue par rapport x, fournisse seulement 

 des valeurs de x indpendantes de t. Si l'on nomme a une de ces valeurs, 

 il faudra, pour trouver les conditions de convergence du dveloppement 

 de x , tirer de l'quation (i) la valeur de t correspondante 



(8) x = a, 



en supposant dj connue la valeur 9 de t correspondante x x. Par 



suite, dans l'intgration particulire qu'il s'agira d'effectuer, t deviendra 



' l'inconnue, x remplissant au contraire le rle de variable indpendante. 



Il y a plus, on n'aura point rechercher la valeur gnrale de l'incon- 



