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 si ("(x) ne change pas de signe entre les limites a, x , X; 



(20) f(, b, x) = M[f(a, b, x ), f(a, b, X)], 



si {'"(x) ne change pas de signe entre les limites a, b, x , X,..., et ainsi 

 de suite. 



II. Applications diverses des principes tablis dans le premier paragraphe. 



Les formules prcdemment obtenues fournissent d'une part les dve- 

 loppements des fonctions en sries , tels qu'ils se prsentent dans le calcul 

 diffrentiel ou dans le calcul aux diffrences finies, d'autre part des limites 

 du reste qui doit complter chaque srie, lorsqu'elle est arrte aprs 

 un certain nombre de termes. La premire de ces deux assertions est suffi- 

 samment tablie dans le Mmoire de M. Ampre ; mais, comme la seconde 

 ne s'y trouve nonce que pour le cas particulier o l'on dveloppe les fonc- 

 tions en sries par la formule de Taylor, il nous parat utile de revenir un 

 instant sur ces objets. 



f(x) dsignant une fonction donne de la variable x, et les lettres 



, b, c,. . .,h, 



reprsentant n valeurs particulires de cette variable, la n' eme des for- 

 mules (3) du I" donnera 



. . t f(x) = f(a) -f- (x a) ((a, b) -\-(x a)(x b) f(a,b,c) -f-. . . 

 ( . . . +(ar a) (x b) (x c). . . (x h) f(a, b, c,. . ., h, x). 



Si f(x) est une fonction entire du degr n, alors la fonction interpolaire 



f(a, b, c ,. . ., h, x), 



tant par rapport x du degr zro, se rduira simplement une cons- 

 tante; et, en nommant k une nouvelle valeur particulire de x, on aura 



f(a, b, c,. . ., h, x) = ((a,,b, c,. . . , h, k), 

 par consquent 



A 1 f(x) = f(fl) + (x a) f (a, b)-]-(x~ a) (x b){a,b,c)+... 

 ^' {.. . . -\-(x a) (xb) (x c). . . (x h) f(a,b, c,. ..,k). 



