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Donc, tandis que la variable x passera de la valeur a la valeur c , la 

 fonction P passera d'une valeur positive une valeur ngative. Donc cette 

 fonction s'vanouira dans l'intervalle , et par suite l'quation 



P= o 



offrira au moins une racine relle comprise entre les limites a, c. Donc 

 entre les limites x = a, x = b, la plus petite racine de l'quation P = o 

 sera infrieure la plus petite racine c de l'quation Q = o. 



On dmontrera de la mme manire les trois autres parties du 

 i" thorme. 



Corollaire i". Supposons que les fonctions 



P, Q, 



toujours finies et continues entre les limites 



x= a, x =. b > a, 



vrifient entre ces limites la condition (3). Si , ces fonctions tant toutes 

 deux positives pour x = a, ou pour x= b, l'quation (2) admet une ou 

 plusieurs racines relles comprises entre les limites a, b, on pourra en 

 dire autant de l'quation (1); mais la rciproque n'est pas vraie, et l'- 

 quation (i) pourrait admettre une ou plusieurs racines relles comprises 

 entre a et b, sans qu'il en ft de mme de l'quation (2). Ajoutons que, 

 dans le premier cas, et entre les limites 



x = a, x =1 b, 



la phis petite racine de l'quation (i)sera infrieure la plus petite ra- 

 cine de l'quation (2), ou la plus grande racine de l'quation ( 1 ) suprieure 

 la plus grande racine de l'quation (2), suivant que la valeur de x 

 pour laquelle les deux fonctions P, Q deviendront positives, sera a ou b. 

 Corollaire a me . Supposons que les fonctions 



P, Q, 



toujours finies et continues entre les limites 



x = a, x = b > a, 



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