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vrifient entre ces limites la condition (3). Si, ces fonctions tant toutes 

 deux ngatives pour a? = sou pour x = b, l'quation (i) admet une ou 

 plusieurs racines relles comprises entre les limites a, b, on pourra en dire 

 autant de l'quation (a); mais la rciproque n'est pas vraie, et l'quation (a) 

 pourrait admettre une ou plusieurs racines relles comprises entre a et b , 

 sans qu'il en ft de mme de l'quation (i). Ajoutons que, dans le premier 

 cas, et entre les limites 



x = a, x = b, 



la plus petite racine de l'quation (2) sera infrieure la plus petite ra- 

 cine de l'quation (i),ou la plus grande racine de l'quation (2) suprieure 

 la plus grande racine de l'quation (1) suivant que la valeur de x, pour 

 laquelle les deux fonctions P, Q deviendront positives, sera a ou b. 

 Corollaire 3 me . Les deux fonctions 



P, Q, 



deviendront videmment toutes deux positives, ou toutes deux ngatives, 

 pour une valeur particulire a ou b de la variable x, si elles remplissent 

 alors la condition 



(4) p = Q- 



Le thorme i or entrane ceux que nous allons noncer. 

 2 e Thorme. Soit {(x) une fonction relle de x , qui reste finie et 

 continue entre les limites 



x = a, x = b > a. 



Pour obtenir entre ces limites deux quantits, l'une infrieure , l'autre su- 

 prieure la plus petite des racines relles de l'quation 



(5) {(x) = 0, 



on commencera par substituer l'quation (5) les deux quations auxi- 

 liaires 



(6) <&{x) o, 4(jr) = o, 



les fonctions Gr(x), -^(x) tant elles-mmes continues entre les limites 



