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 ou aura ^'ailleurs 



f(, x, *) = 1%-^, 



on peut affirmer que la fonction interpolaire 



f(a, x) 

 non-seulement conservera toujours le mme signe entre les limites 



x = a, x = b, 



mais sera de plus, dans cet intervalle, et pour des valeurs croissantes 

 de x, toujours croissante ou toujours dcroissante, suivant que la drive 

 du second ordre "{x) sera positive ou ngative. Cela pos, les deux 

 quantits, ci-dessus reprsentes par G, H, pourront tre rduites , dans le 

 premier thorme, l'une i{a, a) = f'(tf), l'autre f(a, b); et dans le 

 second thorme, l'une ((a, b), l'autre {b, )= t'(b). D'autre part, la 

 fonction f'(x) conservant toujours le mme signe, par hypothse, entre 

 les limites x = a, x=. b, la fonction (x) sera, dans cet intervalle, tou- 

 jours croissante avec x, ou toujours dcroissante; et par suite l'quation 

 (12) n'offrira point de racines relles renfermes entre a et b, ou offrira 

 une seule racine de cette espce, suivant que les deux quantits 



f(a), ((b), 



seront affectes du mme signe, ou de signes contraires. Enfin, si l'on 

 nomme k la racine unique de l'quation 



(18) F(ar) = o, 



on aura videmment, en vertu de la formule (7), 



( J 9) k = a - -rj- = b - 



({a, b) f(, by 



ou, ce qui revient au mme, 



et, comme 



