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reprsentera une valeur de f'(x) correspondante une valeur de x inter- 

 mdiaire entre a et b , par consquent une quantit comprise entre 



f'faj, C(b), 



il est clair que, si ((et), f(b) sont affectes de signes contraires, les diff- 

 rences 



f() j, f (*> 



f' i'(6)' 



seront toutes deux infrieures ou toutes deux suprieures la valeur de k 

 donne par la formule (ig). Or, en ayant gard aux observations que 

 nous venons de faire, on dduira immdiatement des thormes i et 2 

 la proposition suivante. 



4" Thorme. Soit f (x) une fonction relle de x qui demeure finie et 

 continue, avec ses drives du premier et du second ordre, entre les limites 



x = a, x = b > a; 



et supposons que des trois fonctions 



f(x), f'(.r), f"(x), 



la premire seule change de signe , tandis que l'on passe de la premire 

 limite la seconde. Une seule racine de l'quation (12) se trouvera ren- 

 ferme, non seulement entre les limites donnes 



a et b , 



mais aussi entre deux limites plus rapproches dont l'une sera la quan- 

 tit k, l'autre pouvant se rduire celle des deux diffrences 



qui sera la plus voisine de k , ou bien encore la premire de ces diff- 

 rences, quand le signe de f (a) sera celui de f"(fl), et la seconde dans le 

 cas contraire. 



Corollaire, a et b tant considrs comme reprsentant deux valeurs 

 approches en plus et en moins d'une racine relle de l'quation (12), le 

 thorme prcdent fournira le moyen d'obtenir de nouvelles valeurs ap- 

 proches de la mme racine en augmentant le degr d'approximation. La 

 substitution de l'une des diffrences (ai) l'une des premires valeurs 



