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Ce calcul pourra s'effectuer, dans un grand nombre de cas, l'aide des 

 considrations suivantes. 

 Concevons que l'on ait 



(a3) ff = <p(x) x(jc), 



<p(x), X( x ) dsignant deux fonctions relles de x, dont chacune reste, 

 avec ses drives du premier et du second ordre, toujours finie et con- 

 tinue, et toujours croissante, depuis la limite x = a jusqu' la limite 

 x = b. On pourra en dire autant de chacune des fonctions interpolaires 



,24) <p(a,x), <p(b,x), <p(, b, x); %(a,x), x(b, x), %(a,b,x). 



Car, dans l'hypothse admise , chacune des fonctions drives 



<p"{x), p"'(x); X "(x), x'"(x), 



restera toujours positive entre les limites x = a, x = b; et par suite, 

 les drives des expressions (-^4) c'est--dire les fonctions 



<p{a, x, x), <p [b, x, x), <p(a,b,x, x); %(a, x, x), x(b, x,x), %(a b, x, x), 



seront elles-mmes positives dans cet intervalle, chacune d'elles se rdui- 

 sant alors la moiti ou au sixime d'une certaine valeur de l'une des fonc- 

 tions drives 



qf'(x), f&)\ yj'(x), %"'(*) 



Donc, puisqu'une fonction croit toujours quand sa drive est positive, 

 on peut affirmer que, pour des valeurs de x comprises entre a et b, les 

 valeurs des fonctions (24) seront respectivement suprieures aux six quan- 

 tits 



<p(a,a), <p(b, a), <p(a, b, a); %{a, a), %{b t a), x(a, b,a), 

 ou , ce qui revient au mme, aux six quantits 



p(a,a), Q(a,b), <f>(a, a, b); %(fl, a), %',&), x(a,a,b), 

 mais respectivement infrieures aux six quantits 



jp(a, b), <p(b, b\ <p(a, b, b); %(*, b), x(b, b), X(a, b, b). 



