( 9o3 ) 



MEMOIRES PRSENTS, 



arithmtique. Note sur quelques propositions d'arithmologie lmentaire; 



par M. Lon Lalanne. 



( Commission nomme pour les machines calculs du mme auteur.) 



Dans la sance du lundi 16 novembre,. M. Cauchy a communiqu 

 l'Acadmie des procds de calcul nouveaux d'une grande utilit pour les 

 personnes qui sont obliges de faire souvent des oprations numriques. 

 L'imposante autorit de ce gomtre vient donc s'ajouter celle de La- 

 grange et de Laplace, et prouve que l'on peut encore tirer parti des prin- 

 cipes les plus lmentaires de Parithmologie pour obtenir des rsultats 

 curieux et indits. 



L'arithmtique positivo-ngative semble propre faciliter les recher- 

 ches relatives certaines proprits des nombres. Pour en donner un seul 

 exemple bien simple , j'applique la notation de M. Cauchy (Comptes rendus, 

 2 e semestre i84o, page 796) au systme de numration ternaire, et j'cris 

 de la manire suivante les nombres naturels successifs 



(a) , 1, 11, 10, 11, ni, 110, ni, 101, 100, 101, iii, 110, etc. , 



qui, dans notre systme ordinaire de numration, sont respectivement re- 

 prsents par 



1, 2, 3, 4>. 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, etc. 



Or il est facile de voir que tous les termes de la srie (a) se composent 

 exclusivement des nombres de la progression triple 



1, 3, 9, 27, 81, etc., 



combins entre eux par voie d'addition et de soustraction, sans jamais 

 tre pris deux fois dans le mme terme. Ainsi le nombre 1 1 s'crit sous la 



forme 1 1 1 dans le systme ternaire positivo-ngatij, ce qui revient l'i- 

 dentit 



1 11 (systme ternaire) = 1 , -+- 3 -{- 3* = 11 (systme dcimal). 



