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 Donc tout nombre entier est la somme d'un certain nombre de puissances 

 entires et positives de 3 , combines par voie d'addition ou de soustraction , 

 et rptes chacune une seule fois dans ce nombre, qui ne peut d'ailleurs 

 tre form que d'une seule manire par la combinaison de ces puissances. 

 Il suffit d'crire la suite des nombres naturels dans le systme posi- 

 tivo-ngatif ternaire, pour, reconnatre immdiatement cette loiqueEuler 

 a dmontre dans ses recherches curieuses sur la partition des nombres. 

 On sait d'ailleurs qu' l'inspection seule de la suite des nombres naturels 

 crits dans le systme binaire, on retrouve aussi la loi analogue qui a lieu 

 pour les termes de la progression double 



i, 2, 4 8, 16, 3a,. . . , 



combins seulement par voie d'addition. 

 Ainsi , par exemple , 



101 1 1 (systme binaire) = i -f- i + 2 a -|- 2 4 = a3 (systme dcimal). 



Ces proprits remarquables des systmes binaire et ternaire sont utilises 

 quelquefois pour la pese des corps. Le dernier systme est celui qui 

 exige l'assortiment de poids le moins considrable pour peser jusqu' la li- 

 mite la plus toigne. Ainsi avec les poids i, 3, 3*, . . ., 3", on pse jusqu' 

 i(3" + ' i), tous les poids entiers possibles. 



Il n'est pas sans intrt d'observer qu'avec la notation positivo-ngative 

 cinq chiffres suffisent pour le systme undcimal a,ussi bien que pour le 

 systme dcimal ; et gnralement que n chiffres suffisent dans les systmes 

 de numration qui ont pour bases ?n ou an -f- i. Lorsque la base du sys- 

 tme est un nombre pair ara, il y a toujours deux manires d'exprimer 

 tous les nombres naturels compris dans la formule n(ik-{- i), k tant un 

 nombre entier quelconque. Ainsi, dans le systme dcimal positivo-n- 

 gatif, on peut reprsenter 5 par i5, i5 par 25, 25 par 35, et ainsi de 

 suite. 



Les dmonstrations de certaines propositions lmentaires offrent 

 aussi un sujet intressant de recherches , et paraissent susceptibles d'tre 

 prsentes sous une forme nouvelle. Tel est le principe relatif la cons- 

 tance du produit de plusieurs facteurs, quel que soit l'ordre dans lequel la 

 multiplication soit effectue. Dans les livres destins l'enseignement on 

 dmontre de visu ce principe pour deux facteurs, en faisant observer qu'on 

 doit obtenir ncessairement le mme rsultat en comptant soit par lignes 



