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de forme quelconque. En effet, lorsqu'une quation devient transcendnte r 

 ou, ce qui revient au mme, lorsque le nombre des termes d'une quation 

 algbrique devient infini, cette quation peut admettre entre deux limites 

 mme trs rapproches une infinit de racines relles. C'est ce qui arrivera, 

 par exemple, si l'quation donne se rduit 



i 

 jrsin - = o, 



ou, ce qui revient au mme, 



1 ~ 7X3 + 1.7.3.4.5 + = - 



Dans le cas particulier o l'quation donne est algbrique ou com- 

 pose d'un nombre fini de termes , .on peut arriver la sparation des ra- 

 cines relles, ds que Ton connat une limite infrieure la plus petite 

 diffrence entre ces racines. On peut aussi parvenir au mme but, lors- 

 qu'on a rsolu d'abord un problme indiqu par Lagrange , et trouv 

 des rgles sres pour dterminer clans une quation de degr quelconque 

 le nombre des racines relles, soit positives, soit ngatives. Ce dernier 

 problme est prcisment celui dont j'ai donn une solution dans des re- 

 cherches prsentes l'Institut en i8i3, et publies dans le xvu e cahier du 

 Journal de l'Ecole Polytechnique. J'ai dmontr en particulier, qu tant 

 donne une quation du degr n, on peut toujours obtenir n fonctions ra- 

 tionnelles ou mme entires des coefficients , tellement choisies que les si- 

 gnes des quantits reprsentes par ces fonctions indiquent le nombre des 

 racines relles, ou la diffrence entre le nombre des racines positives et le 

 nombre des racines ngatives. Pour obtenir ou cette diffrence , ou le nom 

 bre des racines relles, il suffit de soustraire du nombre des fonctions re- 

 prsentes par des quantits positives le nombre des fonctions reprsentes 

 par des quantits ngatives. Ajoutons que, dans le cas o l'on cherche 

 simplement le nombre des racines relles, l'une des fonctions se rduit 

 toujours l'unit. D'ailleurs il existe plusieurs systmes de fonctions qui 

 remplissent les conditions ci-dessus nonces, et M Sturm a dmontr 

 que la recherche de semblables fonctions peut tre rduite la recherche 

 du plus grand commun diviseur entre une fonction entire et sa drive. 

 Il est ainsi parvenu donner du problme indiqu par Lagrange une so- 



