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lution qui a l'avantage de reposer uniquement sur le systme d'op- 

 rations qu'exige la recherche des racines gales, et qui diffre de la mienne 

 par les valeurs des fonctions que l'on dtermine. Mais l'une et l'autre so- 

 lutions pourront devenir insuffisantes, comme la mthode d'approxima- 

 tion ci-dessus mentionne, quand il s'agira de sparer les racines d'une 

 quation alghrique dont les coefficients seront irrationnels. En effet, 

 dans ce dernier cas, une fonction entire des coefficients offrira gnra- 

 lement elle-mme une valeur numrique irrationnelle; et, si la quantit 

 reprsente par cette fonction diffre trs peu de zro, le signe de 

 cette quantit ne pourra tre fix avec certitude jusqu' une poque 

 qu'il sera gnralement impossible de dterminer priori, savoir, jus- 

 qu' l'poque o les valeurs approches des coefficients auront t cal- 

 cules avec une approximation suffisante, et renfermeront un assez grand 

 nombre de chiffres dcimaux pour que ces valeurs, substitues dans la 

 fonction, fassent connatre au moins le premier chiffre significatif de sa 

 valeur numrique. 



Quand les coefficients de l'quation numrique donne cessant d'tre 

 irrationnels, seront au contraire des nombres entiers, on pourra se dis- 

 penser de rsoudre d'abord le problme indiqu parLagrange. Alors, en 

 effet , aprs avoir rduit le coefficient de la plus haute puissance de x 

 l'unit , il suffira, pour obtenir immdiatement une limite infrieure la 

 plus petite diffrence entre les racines relles , de diviser V unit par le 

 double de la limite suprieure aux modules de toutes les racines , puis d'- 

 lever le quotient trouv la puissance dont le degr sera infrieur d'une 

 unit au nombre des combinaisons que l'on peut former avec les racines 

 combines deux deux (xoir 1 'Analyse algbrique, page 487). Ce qui 

 doit surtout tre remarqu, c'est qu'en vertu du thorme 4 du pre- 

 mier paragraphe, cette rgle s'tend au cas mme o l'quation don- 

 ne offre des racines gales, et dtermine alors une limite infrieure 

 la plus petite diffrence entre deux racines relles distinctes l'une de 

 l'autre. On n'aura donc pas besoin de s'occuper particulirement du cas 

 o les racines sont gales; et, dans ce cas mme, on pourra, si les coef- 

 ficients de l'quation donne sont des nombres entiers, effectuer la spara- 

 tion des racines diverses l'aide de la rgle que je viens d'noncer. Ajou- 

 tons que la limite infrieure la plus petite diffrence entre les racines 

 pourra tre considrablement augmente mesure que l'on connatra des 

 valeurs de plus en plus approches des racines relles. 



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