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car s'il changeait de signe 1'equation propose'e aurait une 

 racine re'elle ; et re'ciproquement si le polynome ( i ) reste 

 constamment positif ou constamment negatif, 1'equation don- 

 ne'e n'aura que des racines imaginaires. 



Re'solvons 1'e'quation (i) a la maniere des e'quations du se- 

 cond degre, on aura 



qu 

 u - 2 



u m 



v z /n* z' r V 



OU 



"\ 



ou 



f . - g I 4 / I * " * * ' */ 



U : \/ i 



2 41. U m ~ 2 



t\ r 



4 U m 



u sera imaginaire , lorsque le radical sera ne'gatif , et recipro- 

 quement le radical sera ne'gatif, lorsque 



-- ....... (2) 



sera posititif , et cette quantite ne peut etre positive que lors- 

 que p* 



Rernarquons que 1'expression (2) est du degre m 2, 

 et que pour la rendre positive, il suffira de rendre posi- 

 tive une expression du degre m 4> laquelle sera posi- 

 tive en meme temps qu'une expression du degre m 6; en 

 descendant successivement de deux degre's, on arrivera a une 

 equation du second degre, chaque transforme'e fournira une 

 condition , et lorsque toutes ces conditions auront lieu , on 

 sera certain que 1'equation propose'e n'a pas de racines re'elles; 

 mais la reciproque n'a pas lieu, c'est-a-dire que 1'equation 

 peut avoir toutes ses racines imaginaires sans que les condi- 

 tions ci-dessus soient remplies. 



