so MEMOIRE 



toujours etre exprimees rationnellement avec les coefficiens 

 P, Q, S On peut aussi former cette equation par la seule 

 elimination ; et voici comment. 



Supposons que a soit une racine de 1'e'quation finale y r -\- 

 * = 3 faisons u=y a, on aura y=u+<* et 



te 



= o. (3) 

 H 



et comme a est une valeur de 7, a.r+ P a r ~ J ..... + E = o. (4) 

 et le reste de 1'expression (3) divise par u donne une equa- 

 tion de la forme 



u r - 1 + Qu r - 2 ...... = o. (5) 



e'liminant a entre les e'quations (4) et (5), on aura une e'quation 

 en y du degre r(r i), qui sera precise'ment 1'e'quation aux 

 differences. 



Si 1'e'quation y-- Py* x ..... ^o, avait des racines e'gales, 

 1'e'quation aux differences aurait autant de racines nulles, et 

 ces racines s'annonceraient par une diminution dans le degre' 

 de 1'equation aux differences. 



La plus petite racine de cette e'quation sera e'gale a la plus 

 petite difference entre deux racines de 1'equation y+P f~ ' =o , 

 et par consequent la limite inferieure des racines de 1'e'quation 

 aux differences est une quantite plus petite que la plus petite 

 difference entre deux valeurs de 7. 



Pour obtenir une limite de la plus petite difference entre 

 deux valeurs de a;, on formera 1'e'quation aux differences de 

 1'e'quation x m + Ax m ~ * + Bo;'" 2 ____ + V = o,et 1'ou ope'rera 

 comme si les coefficiens A, B, G e'taient connus. 



