SPIRAL OU CONIQUE. a3 



puis prenant la difTeVentielle logaritlimique pour former 

 le premier membre de (L) , on aura : 



6 cot p.p -4- 



6\np.p" '$COR p.p'p" -4- itinp.p' 3 + sin 3 ;?.// a sinp. cos' p.p 

 sin p.p" 2 cos p.p" sin 3 p. cosp 



r2tr v/sin' p -4- p ' o; 

 d'oii Ton tire 



p"'= 3 cot p.p p" a/>' 3 sin 'p.p' -4- a cos" p.p 

 -4- f/>" cot p.p" sin/;, cos/^ f6 cot/?, ;/ -4- 2 e r Vsm' p + p"}. (M) 



Ce resultat nous met a merne de pouvoir deduire toutes 

 les valeurs des coefficiens de la serie 



des seules valeurs de (p) , (p), (p"). Quant a ces dernieres, 

 on obtiendra d'abord (p) par 1'equation v=^r sin p; car, 

 puisque u = o quand t = o, et qu'au meme instant v=x=a, 



on doit avoir sin (p) = . Pour trouver (p') et (p'), il faudra 



recoui'ir aux equations auxiliaires donnees par la theorie des 

 differentiations , savoir 



oil/?,, u,,p,, it, representent des coefficiens diffe'rentiels par 

 rapport au temps ; quoique les valeurs de p t , u t , p t , K, ne 

 soient pas connues directement pour t=o,au moins Ton sait 

 ce que valent a cet instant x, y, z, x t , y t) z g) x,,y,,z,, et s, . 

 (voyez les equations (E) et celles qui les precedent); il suffira 

 done de pouvoir exprimer/?,, u t ,p t et w a , en x, y, z et leurs 

 coe'fficiens diffe'rentiels par rapport au temps. 



