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1 ou 10* H- 1 est divisible par un nombre premier 

 donne %p -f- 1 , ce qui revient a determiner si 10 est 

 residu ou non-residu quadratique du nombre 2j> +- 1. Ces 

 observations sont bien faciles et bien simples, et il est 

 probable qu'elles auront deja ete faites; mais comme je 

 JTignore, j'ai pense, a cause de 1'interet qui s'attache a tou- 

 tes les productions d'Euler, pouvoir vous les soumettre : 

 vous en ferez ensuite tel cas qu'il vous plaira. 



Euler distingue si le nombre premier donne est de la 

 forme 4n -+ \ ou de la forme An 1 , et il prescrit de con- 

 siderer , dans la premiere hypothese, les diviseurs des trois 

 nombres n, n 2, n 6, et, dans la seconde, ceux des 

 nombres n, n-t-2,n-f-6:si parmi ces diviseurs on trouve 

 les deux nombres 2 et 5 ou aucun d'eux, c'est une marque, 

 dit-il, que la formule 10 P 1 sera divisible; si seule- 

 ment Tun des nombres 2 ou 5 s'y trouve, alors la formule 

 10 P -*- 1 sera divisible. II ajoute que ces regies sonl fon- 

 dees sur un principe dont la demonstration n'est pas 

 j> encore connue . Le principe auquel Euler fait allu- 

 sion, est la loi de reciprocite, dont on possede a present 

 tant de demonstrations dilferentes : voici en effet, comment 

 elle sert a demontrer la regie d'Euler reduite aux seules 

 conditions necessaires. 



Soit 2p-f- 1 =N : le nombre 10 sera un residu qua- 

 dratique de N si ses facteurs 2 et 5 sont tous les deux 

 des residus ou tous les deux des non-residus, et sera uu 

 non-residu, si Tun de ces facteurs esl un residu et 1'aulre 

 un non-residu. Or, en vertu de la loi de reciprocite, le 

 facteur 5 est un residu ou un non-residu de N, suivant 

 que N est un residu ou un non-residu de 5, c'est- a -dire 

 suivant que N esl de la forme 5m 1, ou de la forme 

 5w 3 ; car 1 est residu , 5 est non-residu de 5. D'un 



