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autre cot, en supposant N = 4n-*-i, ou N=4n 1, 

 le facteur 2 sera un residu de N si n est pair, sera un non- 

 re'sidusi nest impair. Maintenantregalite4rc -*-l = 5ml 

 donne 4n = 5m ou 4ra -- 2 5m, et cette derniere peut 

 se meltre sous la forme 4(n 2) =5(m 2) , d'ou il suit 

 que, dans ce cas, n ou n 2 sera divisible par 5; 1'autre 

 egalite 4n l=5ml fournit 4n = 5m ou 4(n-i-2) 

 = 5 (m +- 2) , savoir n ou n H- 2 divisible par 5 : ainsi 5 

 sera un residu de N==4nl lorsque cette condition 

 sera satisfaite, autrement il sera un non-residu. De la on 

 conclut que 10 sera residu quadratique de N et 10* 1 

 divisible par N, si, n etant pair, 1'un des nombres n, 

 n 2, ou n, n + 2 (suivant que N est egal a 4n + 1 ou a 

 4n 1) est divisible par 5, et encore, si n est impair, et 

 aucun des memes nombres n'est divisible par 5 : hors de 

 la, N sera un diviseur de 10 p -t-l. Celte conclusion s'ac- 

 corde avec la regie d'Euler et la simplifie en meme temps, 

 en dispensant de considerer les diviseurs de i'autre nom- 

 bre n 6. Au reste, ce nombre, pair ou impair, comme 

 n et n2, ne pent jamais etre divisible par 5, N etant 

 un nombre premier, car si Ton avail n 6 = 5# et 

 N = 4n +- 1 , ou n -t- 6 = 5a? et N = 4n 1 , il s'ensui- 

 vrait N==20ic-4-25 ou N = 20x 25; en sorte que N 

 serait un multiple de 5 : il etait done evident a priori, 

 que la consideration de ce nombre devait etre inutile. II 

 est surprenant que cette remarque ait echappe a Euler. 

 En supposant An -t- 1 = 5m 5, on irouve 4 (-*-2) 

 = 5 (m -4- 2) , ou 4 (n -+- 6) = 5 (m + 4) ; en supposant 

 4n 1 = 5m 5 , on trouve 4 (n 2) = 5 (m 2) , ou 

 4(n 6) = 5(m 4) : ainsi, lorsque N est non-residu 

 quadratique de 5 , 1'un des nombres n 2, n 6 est divi- 

 sible par 5. On peut done tirer une autre regie de la con- 



