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n'exisle plus. En second lieu , de ce que ceile meme equa- 

 tion A est du second degre relativement a cos. D, on conclut 

 qu'une droite polaire rencontre generalemcnt la courbe, 

 horsde Torigine, en quatre points. Car chaque valeur de 

 cos. D en fournit deux egales et des signes contraires pour 

 sin. D. La courbe est done syme'trique relativement aux deux 

 axes des coordonnees rectangulaires; 1'origine en est le 

 centre, et lorsqu'elle y passe, elley a necessairement un 

 point double et sur chacune de ses branches un point d'in- 

 ilexion. Ces remarques sont d'ailleurs une suite evidente 

 de la generation de cette ligne.il est, en outre, fort aise de 

 voir que sur 1'axe des abscisses, il ne peut y avoir que des 

 points doubles. Car pour cet axe cos. S=o et les deux va- 

 leurs de cos. 2 D deviennent egales, tandis qu'elles sont ine- 

 gales pour des directions tres-voisines de part et d'autre. 

 Celte circoiistance n'ayant lieu , pour des valeurs reelles , 

 que pour 1'axe des abscisses, on en conclut qu'il n'y a de 

 points multiples que sur cet axe. 



Pour n'avoir que des points construits par 1'appareil de 

 Walt, il faut, avons-nous dit , n'admettre pour S et D que* 

 des valeurs reelles; ou, ce qui revient au meme, il faut 

 n'admettre pour sin. S, cos. S, sin. D , cos. D, que des va- 

 leurs reelles comprises entre -4- \ et 1. Cetle restriction 

 introduitedans 1'equation A, y fera naitre des distinctions 

 de'pendantes des valeurs de a et de b. Resolvons celte equa- 

 tion par rapport a cos. D. 



cos. D = a cos. S |/6 2 a 2 sin. 2 S". 



On voit qu'il est toujours possible de donner a sin. 2 S 

 des valeurs assez petites pour rendre reelles les deux ra- 

 tines correspondantes ; mais pour qu'elles soient toujours 

 reelles, quel que soil Tare reel S, il faut et il suffit que Ton 



