(8) 



et integrando partim (integrant par parties, ut aiunt galli) 



jfVdx = V3x f(d\$x dxjV) ........ (1) 



Cum V constet variabilibus x, y, p, q, etc. ejus difFerentiale perfectum 



erit 



dV = Udx + Ndy + Pdp + Qdg + etc. 



TV = M^ + N<3fy + PSp + Qjg + etc. 

 In locum c?V et <JV valoribus snbstitutis in (1), hsec evadit 



$fVdx = Vdx +f$dx (iy pjx} +fPdx (Sp q$x] + etc. 

 Adhuc formandi sunt valores dp, $q, etc. 



.. ., dy dx $~dy dy f~dx d$*y pdS~x 



~ - ~- - ' 



s t dfry pdj-x dpfx d (fry pfx) 



dp - qdx - -^- -jp ^~ 



Ponendo $y p$x = u, emergit 



$fVdx = \2x +f u Xdx +fPdu +/Q <*.- + etc. 

 Partim integrando adipiscimur 



u = Pu fudP 



et consequenter 



dx=Wx + (P _ g + etc.) + (Q etc.) g + etc. 



dP . d'Q 



Illud in hac evolutione attentionem maxime meretur, scilicet quod si 

 haberetur 



-T dP . d'Q 



N -; |- 4- etc. = o, 



dx dx' 



f\dx sponte foret integrabilis. Supponamus nunc Vdx esse differentiale 

 fuuctionis u : habebimus 



V^a; = du, ideoque $(Vdx] = du 



Unde sequitur, in casu quo Vdx est diflerentiale perfectum, $Vdx etiam 

 fore perfectum. 



Atqui problema expressum per aequationem f"Vdx = max. vel min., 

 hoc est : Detur functioni V forma talis ut integrationis beneficio formula 

 to fiat maxima. Igitur f\dx integrabilis sit oportet. Unde concluditur 



