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La premiere de ces equations , et celles en _/, z , qui Jui sont analo- 

 gues, donneront par le changement de 1'indice i , toutes les derivees par- 

 tielles de , au moyen de celles de #, de sorte que si Ton connait , 

 on pourra en d^duire immediatement la valeur de par de simples qua- 

 dratures, et sans passer par les valeurs intermediaires de _, ,_.,.. . 



La seconde des equations ci-dessus est une equation de condition a 

 laquelle devra satisfaire tpute differentielle exacte du n mt ordre, et par 

 suite celles d'un ordre plus eleve\ II est d'ailleurs visible que Ton a des 

 equations semblables relatives aux variables y et z. <, . 



Apres cela je demontre, par les regies les plus simples du calcul in- 

 tegral, que toute fonction qui satisfait a toutes les conditions d'inte- 

 grabilit6 d'un ordre donn6, est r^ellement une differentielle exacte de 

 cet ordre. Enfin , je termine mon travail par un theoreme qui simplifie 

 consid^rablement les applications pratiques des conditions d'integrabilite , 

 et dont voici l'enonce\ 



Soil P une fonction qtielconque de x,z, , .r,,. . . x m , y,y t ,y t ,. . .y n , 

 z , z, , z, , . . . z m . 



Soit Q ce que devient P quand on suppose que x est constante et egale 

 a a. 



Soit R ce que devient Q quand on suppose que y est constante et 

 egale k b. 



Soit S ce que devient R quand on suppose que z est constante et egale 

 a c. 



Cela pose, P sera une differentielle exacte de TZ"' ordre, si Ton a iden- 

 tiquement 



_ dP dP dP 



- cC' *" '&; 



dP dP dP 



o = T ad . T r- 3d 3 . 3 ... 



dx, dar a 



dP , dP n.n + i dP 



o = ^ nd . -r H d . T- 



dQ , dQ dQ 

 o ^ d.j -fd". T 



o _ f|Q _ 2 d ^- -L ^ -^ 



