4 SUR L'EMPLOl DE L'lISFIW DAWS 



Les desordres et les dangers signales dans le passage que je viens de 

 reproduire, n'ont pas diminue depuis 1847. Loin de la, ils n'ont fait que 

 s'accroitre , et , par leur extension meme , rendu plus que jamais neces- 

 saires les efforts a tenter pour en prevenir les developpements ulterieurs. 

 Tel est 1'objet de la presente note, ou, restant au point de vue purement 

 mathematique, je me propose de montrer comment 1'enseignement ele- 

 mentaire est vicie dans sa source meme, lorsqu'on lui donne pour fon- 

 dement la conception des grandeurs infinitesimales. 



En abordant cette tache, je n'ignore pas que les erreurs centre les- 

 quelles je m'eleve , sont generalement desavouees par les geometres pro- 

 prement dits. Je sais qu'aux yeux de plusieurs, j'encourrai le reproche 

 de discuter serieusement des principes sans consistance ni sanction, et 

 que le silence des savants, leurs juges naturels, suffit pour condamner. Si 

 je ne m'arrete pas devant ces considerations, c'est que, parmi les homines 

 dont 1'action se fait sentir sur la direction de 1'enseignement moyen, il 

 en est un grand nombre, qui interpretent, comme un assentiment tacite, 

 1'absence de toute protestation contre leurs doctrines. Je veux parler sur- 

 tout des auteurs et des professeurs qui font emploi des notions infinitesi- 

 males, accordant a ces notions une realite qu'elles ne comportent pas, les 

 introduisant hardiment dans les elements des mathematiques , et cher- 

 chant a fonder sur cette base fragile la science lout entiere. 



Le mal, deja accompli dans cette voie, est considerable. Tel est, en effet, 

 le prestige du langage et des procedes employes dans 1'analyse transcen- 

 dante, que, par Tabus ou Ton est entraine, Ton arrive bientot a se former 

 une sorte de conviction illusoire, et a se persuader que non-seulement 

 Ton concoit, mais qu'en outre, Ton peut aisement faire concevoir a d'au- 

 tres, certaines notions de 1'infini, qui resteraient inintelligibles , alors 

 meme qu'elles ne seraient point absurdes et contradictoires. Ces resultats , 

 je les ai vus, je les ai constates. Ils se sont produits malgre le soin qu'on 

 prenait, recemment encore, d'exclure de 1'enseignement elementaire tout 

 principe d'une clarte douteuse, et notamment les conceptions de 1'ordre 

 infinitesimal. Ils se sont developpes en depit des sages reserves dont 

 on entourait ces memes conceptions dans 1'enseignement superieur, ou 



