L'ENSEIGNEMENT DES MATHEMAT1QUES. 5 



elles n'elaienl admises qu'a litre d'auxiliaires sujets a controle , et exi- 

 geant, au besoin, des verifications par les methodes purement algebriques. 

 Si toutes ces precautions, qu'on jugeait a bon droit necessaires , n'ont 

 point etc suffisanles ; si elles n'ont pu empecher que de 1'ancienne ecole 

 naquit 1'ecole moderne, qu'altendre de celle-ci, sinon la ruine definitive 

 de 1'enseignement malhemalique? 



L'erreur, ou Ton se laisse induire, provient sans doute de ce que Ton 

 a trop exclusivement en vue les avantages que peut offrir 1'emploi de 

 1'infini. L'on ne sait point assez a quel prix s'acheienl ces avantages. C'est 

 ce que je vais essayer de faire voir. Je me bornerai, d'ailleurs, aux deux 

 propositions suivantes : 



1 Entendu comme il doit I'etre, d'apres 1'emploi qu'on en fait, finfini mathe- 

 matique est un veritable non-sens. 



2 Uemploi de eel infini peut conduire a I'erreur tout aussi bien qu'a la 

 verile. 



DE L'INFINI MATHEMATIQUE ENTENDU, COMME IL DOIT L'ETRE, D'APBES 



L'EMPLOI QU'ON EN FAIT. 



Le sujet est vaste. Je le restreindrai le plus possible. Je laisserai de 

 cote les considerations purement metaphysiques, et me bornerai a 1'exa- 

 men de quelques cas speciaux, empruntes aux elements de la geometric 

 et de 1'algebre. 



L'on sait quelles difficultes 1'on rencontre lorsqu'on veut etablir a priori 

 latheorie des paralleles, ou ce qui revient au meme, la proposition relative 

 a la somme des angles d'un triangle rectiligne. Le postulatum d'Euclide 

 resout ces difficultes. En admettant qu'une demonstration rigoureuse el 

 simple fut preferable, si elle exislail, 1'on doil neanmoins reconnaitre que 

 ce postulalum, apporlanl avec lui un haul degre d'evidence, n'impose 

 aucun efforl aux conviclions les plus rebelles, el qu'il peul elre accepte 

 sans scrupule, comme aussi sans inconvenient. Lorsqu'on se montre severe 

 au point de ne vouloir emprunter le secours d'aucun poslulalum, et 

 qu'en consequence, on rejetle celui d'Euclide, Ton s'engage par la meme 



