L'ENSEIGNEMENT DES MATHEMATIQUES. 9 



s'll s'agit d'une mesure approximative ayant pour objet le perimetre courbe, 

 1'aire qu'il circonscrit, ou quelque autre element qui depende essentiel- 

 lement de cette aire ou de ce perimetre, il suffit de multiplier, jusqu'a un 

 certain point, les cotes du polygone, pour qu'on puisse, dans cet etat, le 

 substituer a la courbe, et, neanmoins, obtenir le resultat cherche avec le 

 degre voulu d'approximation. On comprend meme qu'on aille plus loin 

 encore, et que, suivant la voie d'induction indiquee par Leibnitz, Ton 

 etende a la courbe certaines proprietes reconnues constantes dans le poly- 

 gone inscrit , ou tendant a s'y etablir a mesure que le nombre des cote's 

 croit indefiniment. Dans un cas comme dans 1'autre, on est suffisamment 

 averti. L'approximation n'est pas 1'exactitude; 1'induction n'est pas 1'evi- 

 dence. 



Des qu'il y a obscurite, doute ou incertitude, il y a aussi danger de 

 s'egarer. Les difficultes de ce genre doivent etre abordees de front. Ce n'est 

 point par une sorte d'escamotage qu'il convient jamais de vouloir les re- 

 soudre. Eludees dans une question, elles surgissent ailleurs et ne tardent 

 point a creer des embarras inextricables. 



Quelle idee se formera-t-on du nombre infini de cotes qu'on attribue au 

 polygone pour 1'identifier avec la courbe qui le circonscrit? Ce nombre infini 

 est-il ou non determine? Bien qu'il n'en soit rien dit, les partisans de la 

 nouvelle ecole s'accordent neanmoins pour admettre qu'un nombre infini 

 comporte une infinite de determinations. Entre toutes ces determinations 

 en choisiront-ils une pour 1'attribuer a la courbe polygone? Le choix serait 

 trop embarrassant. Us preferent les lui attribuer toutes a la fois , et s'in- 

 quietent peu de voir les eleves objecter que des figures, dont le nombre 

 des cotes diflere, ne sauraient etre egales. S'il s'agissait d'un triangle et 

 d'un hexagone, on se garderait bien de donner a entendre qu'ils sont 

 superposables. Est-il moins absurde d'admettre implicitement que, dans un 

 polygone, dont le nombre des c6tes est suppose infini , Ton puisse doubler 

 ce nombre sans que le polygone subisse aucune alteration? 



Je pourrais reproduire ici les objections deja faites au sujet de la droite. 

 Pas plus qu'elle, en eflet, le nombre ne peut etre con9u dans 1'e'tat qui 

 resulterait d'un accroissement infini. En me bornant a cette simple obser- 

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