iO SUR L'EMPLOI DE L'INFIINI DANS 



vation, j'ajouterai toutefois que, si Ton considere comment les change- 

 ments de direction s'accomplissent dans la description d'une courbe et 

 dans celle d'un polygone rectiligne , on remarque aussitot deux conditions 

 essentiellement distinctes. D'une part, il y a continuite, les modifications 

 subies par la direction etant incessantes, et nulle etendue n etant decrite 

 sans que la direction ait change. De 1'autre, au contraire, il y a discontinuite , 

 la direction demeurant invariable le long de chaque cote, et changeant 

 brusquement au sommet des angles. II suit de la que, dans le polygone, les 

 changements de direction se produisent toujours , sans que jamais il y ait en meme 

 tempsaucun espace decrit, tandis que, dans la courbe, c'est precisement I'inverse, 

 la direction ne changeant jamais sans qu'en meme temps il y ait description d'une 

 certaine etendue. L'opposition tranchee que je viens de faire ressorlir, sub- 

 siste evidemment , quel que soit le nombre des cotes que Ton assigne au 

 polygone. Ainsi s'eleve entre lui et la courbe une barriere infranchissable. 

 Suffirait-il, pour la faire disparaitre, de prononcer ces mots mysterieux : 

 Les coles du polygone sont en nombre infmi? 



D'apres ce qui precede, on s'explique aisement les erreurs et les con- 

 tradictions ou Ton est tombe, lorsque, s'occupant des questions ou les 

 changements de la direction tangentielle jouent le role principal, on a 

 confondu la courbe proprement dite avec la courbe polygone. Je reviendrai 

 sur ce point. 



Je ne dirai rien de I'arithmetique. Je rappellerai seulement les efforts 

 tentes, et les semblants de demonstration produits, pour etablir que les 

 nombres incommensurables ont une commune mesure infiniment petite. 

 Quant a 1'algebre, je presenterai deux observations, la premiere sur les 

 progressions geomelriques decroissanles , la seconde sur le symbole^- 



L'on trouve dans plusieurs des meilleurs traites publics sur 1'algebre 

 elementaire 1'enonce suivant : 



Si fon prolonge A L'INFIINI une progression geometrique decroissante, la sommc 

 des lermes esl RIGOUREUSEMENT egale au quotient du premier divise par I' unite mains 

 la raison. 



Et, qu'on le remarque, il est bien entendu qu'on veut exprimer par la 



