L'ENSEIGNEMENT DES MATHEMATIQUES. {{ 



aulre chose que si Ton se bornait a dire, ainsi qu'on le devrait : 



Lorsqu'on prolongs indefiniment une progression geometrique decroissantc , la 

 somme des termes converge vers une limite deter minee. Celle limite, qui n'est 

 JAMAIS atteinle, a pour expression le quotient du premier terme divise par I'unite 

 moins la raison. 



Le sens attribue au mot infini , dans 1'enonce precedent , n'est pas plus 

 admissible que celui qu'on assigne au meme mot, lorsqu'on dit d'une droite, 

 ou d'un nombre, qu'ils sont actuellement infinis. A cet egard, je crois su- 

 perflu d'insister. J'observerai seulement qu'en s'exprimant ainsi qu'on le 

 fait avec intention dans cet enonce, Ton entend faire comprendre que les 

 termes de la progression peuvent etre pris tous a la fois et constituer, par 

 leur reunion, 1'ensemble qu'on designe sous le nom de somme. 11 est mani- 

 i'este qu'une suite de termes , qui derivent les uns des autres suivant une 

 meme loi constante, et en nombre toujours inepuisable, ne sauraient en 

 aucune facon etre jamais reunis par voie d'additions successives. La somme 

 d'une progression geometrique decroissante , si elle avail le sens qu'on lui 

 attribue, presenterait done le resultat d'une operation reconnue inexecu- 

 table, d'apres les plus simples notions du bon sens. Cette remarque sur- 

 gissant d'elle-meme, il semble qu'elle devrait suffire pour empecher qu'on 

 adoptatun enonce qui, sans offrir aucun avantage important, souleve en 

 realite une objection insoluble. Si Ton fait autrement , c'est que Ton a en 

 vue les procedes de 1'analyse inGnitesimale : c'est qu'on veut habituer 

 1'esprit des eleves a 1'idee qu'il est des operations transcendantes permet- 

 tant d'effectuer des sommations impossibles; c'est qu'ayant sous la main la 

 meilleure occasion qui soil ofierte pour entrer dans cette voie , Ton s'em- 

 presse de la saisir et de la mettre a profit. Je montrerai plus loin comment 

 cet ordre d'idees conduit algebriquement et en toute rigueur a des resul- 

 tats qu'on ne saurait admettre. 



Des les premiers pas que Ton fait en algebre, dans la resolution meme 

 des equations du premier degre a deux inconnues, Ton rencontre une 

 difficulte du meme genre que celle que j'ai signalee tout a 1'heure. La 



