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L'EISSEIGNEMENT DBS MATHEMAT1QUES. 15 



Une premiere objection se presente. On demontre que les droites AB, 

 CD se rencontrent. Soit, je le veux bien. Mais la seule chose que j'aie besoin 

 de savoir, est precisement celle que Ton ne dit pas : Est-ce ou non a I'infini 

 que la rencontre a lieu ? 



L'impossibilite de resoudre cette question autrement que par un pos- 

 tulatum prouve d'abord 1'inanite complete de la demonstration. Allons 

 plus loin, et voyons ce que contient en germe, tout pret a se developper 

 dans 1'esprit des eleves, un procede pareil. 



Supposons qu'au lieu d'etre inegaux, les angles DCL, LAB soient egaux 

 fig. a. et droits (fig 5). Si, dans cette hypothese, la droite CD 



reste toujours enveloppee par la droite AB, ii est visible 

 que 1'espace angulaire DCL ne sera qu'une par tie de 

 1'espace angulaire BAL. Done, a moins que la partie 

 puisse etre egale au tout, il faut necessairement que les 

 droiles AB, CD se coupent dans leurs prolongements. On est ainsi con- 

 duit a choisir entre deux paradoxes. 



Si Ton admet que les droites AB, CD se rencontrent, on en conclut 

 aussitot que deux droites perpendiculaires a une meme troisieme se con- 

 pent, et comme il y a symetrie, qu'elles se coupent des deux cotes a la 

 fois. D'ou il suit que deux droites peuvent avoir deux points communs sans 

 coincider et que d'un point pris hors d'une droite, 1'on peut abaisser sur 

 cette droite plusieurs perpendiculaires. 



Si Ton prefere supposer que 1'espace enveloppant LAB est et demeure 

 egal a 1'espace enveloppe LCD, il en resulte que la partie peut, en certains 

 cas, etre egale au tout, et qu'il ne suffit pas que deux quantites different 

 pour qu'elles cessent d'etre egales. 



Pour echapper a ces difficultes que tout eleve intelligent ne manque pas 

 de soulever, on fait observer que 1'espace angulaire DCL contient une infi- 

 nite de bandes egales a la bandeBACD, et qu'en consequence, la difference 

 exprimee par 1'une de ces bandes, si grande qu'elle soit d'ailleurs, est 

 toujours negligeable. 



Cette consideration , sur laquelle la demonstration de Bertrand de Ge- 

 neve se fonde directement, recule la difficulte, mais ne la resout pas. En 



